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| 編輯推薦： |
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本书涵盖常微分方程课程大纲全部内容，难度适中。配有全套习题解答，以及重点难点内容的课程视频。
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| 內容簡介： |
本书是由鞍山师范学院数学与信息科学学院《常微分方程》课程组三位教师经多年课程教学实践，结合当前现有的《常微分方程》教材编写而成。依据数学与应用数学专业《常微分方程》课程教学要求，参照近年来《常微分方程》课程教学改革实践经验和教学成果，在课程内容，模型背景介绍，方法的应用，知识点归纳梳理，例题习题分级等方面做了细心的安排，全书结构清晰，注重定理的叙述和证明的思想方法和知识延拓，内容通俗易懂，同时坚持以学生产出为导向，关注学科发展沿革，体现学科的先进性、前沿性和时代性，持续创新教学内容，拓展课程教学资源，增强课程内容的亲和力、感染力和说服力，适应当前的本科《常微分方程》课程的教学。
本书内容主要包括绍常微分方程的基本概念、一阶常微分方程的初等积分法、一阶常微分方程解的基本定理，高阶微分方程和微分方程组理论（重点是高阶常系数线性方程和方程组的求解方法）、非线性方程的定性和稳定性理论简介六个模块共六章内容。 每小节配有知识点讲解的视频和适量不同难度系数的习题；每章配有根据教学大纲编制的不同类型题目的自测题；同时还编写了习题和章节自测题详细的参考答案以及配套的作业本和思考题本，用于线下教学过程中教师及时检测学生的学生情况使用。
本书可供师范院校和综合性高等院校数学与应用数学专业、信息与计算科学专业等常微分方程课程的教材，也可作为各高校数学模型课程的参考资料。
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| 關於作者： |
刘兵
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刘兵，鞍山师范学院数学与信息科学学院院长、教授，鞍山师范学院重点建设学科应用数学学科的责任教授。获得省优秀教师1人次，入选辽宁省“百千万人才工程”百人层次人选1人，获辽宁省青年科技奖1人、辽宁省优秀科技工作者1人、校级青年教师教学优秀奖2人次、校级教学质量优秀奖1次，1人被认定为鞍山市“钢都英才计划”C类领军人才，指导学生参加全国数学建模大赛、全国大学生数学竞赛、全国和省级大学生创新创业大赛等，多次获得国家、省级一等奖，二等奖。主持产学合作协同育人项目：金课背景下“常微分方程”课程建设研究，“常微分方程”获批辽宁省本科一流课程（线下），获批鞍山师范学院教学建设与改革网络资源建设与专项1项校(“常微分方程”视频课（专业课））。
刘双
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刘双，鞍山师范学院数学学院教师，长期从事常微分方程课程教学，主要研究方向为微分方程在种群模型中的应用。
刘敬娜
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刘敬娜，鞍山师范学院数学学院教师，长期从事常微分方程课程教学，主要研究方向为微分方程在种群模型中的应用。
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| 目錄：
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第一章 绪论 …………………………………………………………………………………… 1
§1.1 常微分方程模型 ………………………………………………………………… 1
§1.2 微分方程的基本概念 …………………………………………………………… 8
1.2.1 常微分方程和偏微分方程 ……………………………………………… 8
1.2.2 线性和非线性微分方程 ………………………………………………… 9
1.2.3 显式解和隐式解 ………………………………………………………… 9
1.2.4 通解和特解 ……………………………………………………………… 9
1.2.5 积分曲线 ……………………………………………………………… 10
习题1.2 ………………………………………………………………………… 11
§1.3 常微分方程发展历史 …………………………………………………………… 12
本章学习要点 …………………………………………………………………………… 13
第二章 一阶微分方程的初等积分法 ……………………………………………………… 14
§2.1 变量分离方程 …………………………………………………………………… 14
2.1.1 变量分离方程 ………………………………………………………… 14
2.1.2 显式形式变量分离方程的解法 ……………………………………… 15
2.1.3 微分形式变量分离方程的解法 ……………………………………… 17
习题2.1 ………………………………………………………………………… 17
§2.2 齐次微分方程与变量变换法 …………………………………………………… 18
2.2.1 齐次微分方程 ………………………………………………………… 18
2.2.2 形如dy
dx=f(ax by c)(a≠0，b≠0)的方程 …………………… 20
2.2.3 形如dy
dx=f
a1x b1y c1
a2x b2y c2 的方程 ………………………………… 21
2.2.4 形如yf(xy)dx xg(xy)dy=0的方程 …………………………… 23
习题2.2 ………………………………………………………………………… 24
§2.3 线性微分方程与常数变易法 …………………………………………………… 24
2.3.1 一阶非齐次线性微分方程的通解 …………………………………… 25
2.3.2 伯努利方程 …………………………………………………………… 28
习题2.3 ………………………………………………………………………… 30
§2.4 恰当微分方程与积分因子 ……………………………………………………… 31
2.4.1 恰当微分方程 ………………………………………………………… 31
2.4.2 积分因子 ……………………………………………………………… 36
习题2.4 ………………………………………………………………………… 40
§2.5 一阶隐式微分方程与参数表示 ………………………………………………… 41
2.5.1 可解出y的方程 ……………………………………………………… 41
2.5.2 可解出y(或x)的方程 ……………………………………………… 41
2.5.3 不显含y(或x)的方程 ……………………………………………… 45
习题2.5 ………………………………………………………………………… 47
§2.6 一阶微分方程的应用 …………………………………………………………… 47
2.6.1 人口问题 ……………………………………………………………… 47
2.6.2 雪球融化问题 ………………………………………………………… 48
2.6.3 动力学问题 …………………………………………………………… 49
2.6.4 化学反应问题 ………………………………………………………… 50
2.6.5 流体混合问题 ………………………………………………………… 51
习题2.6 ………………………………………………………………………… 53
本章学习要点 …………………………………………………………………………… 53
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 54
第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理 ……………………………………………… 55
§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 …………………………………………… 55
3.1.1 存在唯一性定理 ……………………………………………………… 55
3.1.2 近似计算和误差估计 ………………………………………………… 61
习题3.1 ………………………………………………………………………… 62
§3.2 解的延拓 ………………………………………………………………………… 63
3.2.1 解的延拓定理 ………………………………………………………… 63
3.2.2 比较定理 ……………………………………………………………… 66
习题3.2 ………………………………………………………………………… 67
§3.3 解对初值的连续性和可微性定理 ……………………………………………… 68
习题3.3 ………………………………………………………………………… 71
§3.4 奇解与包络 ……………………………………………………………………… 72
3.4.1 奇解 …………………………………………………………………… 72
3.4.2 不存在奇解的判别法 ………………………………………………… 73
3.4.3 奇解的求法及包络 …………………………………………………… 73
3.4.4 克莱罗微分方程 ……………………………………………………… 75
习题3.4 ………………………………………………………………………… 77
本章学习要点 …………………………………………………………………………… 78
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 78
第四章 高阶微分方程 ……………………………………………………………………… 80
§4.1 线性微分方程的一般理论 ……………………………………………………… 80
4.1.1 线性微分方程的概念和解的存在唯一性定理 ……………………… 80
4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构 ……………………………… 81
4.1.3 非齐次线性微分方程的解结构和常数变易法 ……………………… 86
习题4.1 ………………………………………………………………………… 90
§4.2 常系数线性微分方程的解法 …………………………………………………… 91
4.2.1 复值函数与复值解 …………………………………………………… 91
4.2.2 常系数齐次线性微分方程 …………………………………………… 93
4.2.3 欧拉方程 ……………………………………………………………… 97
习题4.2 ………………………………………………………………………… 98
§4.3 常系数非齐次线性微分方程的待定系数法 …………………………………… 99
4.3.1 类型Ⅰ:非齐次项为多项式与指数函数之积的情形 ……………… 99
4.3.2 类型Ⅱ:非齐次项为多项式与指数函数、 三角函数乘积的情形 …… 102
习题4.3 ……………………………………………………………………… 104
§4.4 拉普拉斯变换法 ……………………………………………………………… 104
4.4.1 拉普拉斯变换的定义和性质 ………………………………………… 105
4.4.2 用拉普拉斯变换求解初值问题 ……………………………………… 107
习题4.4 ……………………………………………………………………… 109
§4.5 高阶微分方程的降阶解法 …………………………………………………… 109
4.5.1 方程不显含未知函数y ……………………………………………… 110
4.5.2 不显含自变量x 的方程……………………………………………… 110
4.5.3 恰当微分方程和积分因子 …………………………………………… 111
4.5.4 齐次线性微分方程 …………………………………………………… 112
习题4.5 ……………………………………………………………………… 114
*§4.6 幂级数解法大意 ……………………………………………………………… 114
习题4.6 ……………………………………………………………………… 119
*§4.7 高阶微分方程的应用 ………………………………………………………… 119
4.7.1 数学摆运动 …………………………………………………………… 119
4.7.2 质点振动 ……………………………………………………………… 122
习题4.7 ……………………………………………………………………… 127
本章学习要点 …………………………………………………………………………… 127
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 128
第五章 微分方程组 ………………………………………………………………………… 129
§5.1 微分方程组的概念及解的存在唯一性定理 ………………………………… 129
习题5.1 ……………………………………………………………………… 132
§5.2 线性微分方程组的一般理论 ………………………………………………… 133
5.2.1 齐次线性微分方程组解的结构 ……………………………………… 135
5.2.2 非齐次线性微分方程组解的结构和常数变易法 …………………… 141
习题5.2 ……………………………………………………………………… 143
§5.3 常系数线性微分方程组的解法 ……………………………………………… 145
5.3.1 矩阵指数函数的定义和性质 ………………………………………… 145
5.3.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵 …………………………… 146
5.3.3 基解矩阵的求法 ……………………………………………………… 147
5.3.4 常系数非齐次线性微分方程组的求解 ……………………………… 155
习题5.3 ……………………………………………………………………… 157
§5.4 拉普拉斯变换法 ……………………………………………………………… 158
习题5.4 ……………………………………………………………………… 161
§5.5 微分方程组的消元法和首次积分法 ………………………………………… 162
5.5.1 微分方程组的消元法 ………………………………………………… 162
5.5.2 微分方程组的首次积分法 …………………………………………… 164
习题5.5 ……………………………………………………………………… 166
本章学习要点 …………………………………………………………………………… 166
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 167
第六章 定性和稳定性理论简介 …………………………………………………………… 168
§6.1 稳定性概念和例子 …………………………………………………………… 168
习题6.1 ……………………………………………………………………… 173
§6.2 李雅普诺夫第二方法 ………………………………………………………… 173
习题6.2 ……………………………………………………………………… 178
§6.3 平面定性理论简介 …………………………………………………………… 178
6.3.1 相平面、 轨线与相图 ………………………………………………… 178
6.3.2 平面自治系统的基本性质 …………………………………………… 180
6.3.3 常点、 奇点、 闭轨 …………………………………………………… 181
6.3.4 平面线性系统初等奇点附近的轨线分布 …………………………… 181
6.3.5 平面非线性系统初等奇点附近的轨线分布 ………………………… 187
6.3.6 平面自治系统的极限环 ……………………………………………… 188
习题6.3 ……………………………………………………………………… 194
习题和自测题参考答案 ……………………………………………………………………… 195
参考文献 ……………………………………………………………………………………… 197
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| 內容試閱：
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党的二十大报告指出，教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑.必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.高校作为科技、人才、创新的结合点，既是国家创新体系的重要组成部分，同时又担负着为党育人、为国育才、培养社会主义事业建设者和接班人的根本任务.
教学是高校人才培养最基础的工作，课程则是组织教学的基本单位.教材建设涉及教育理念的更新、教学内容的选择和教学方式的变革，是课程的主要载体，是教学的重要依据，是人才培养质量的重要保障.常微分方程是一门历史悠久的学科，随着微积分的诞生和发展而发展.它是描述自然科学和社会科学中各种规律的基本工具，也是数学与实际问题建立联系的重要手段，为很多数学分支和交叉学科的产生提供动力源泉.因此，常微分方程在生物数学、电子科学、自动控制、人口理论、工程技术以及其他自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用，对于创新人才培养具有重要作用.
常微分方程是本科院校数学类各专业的一门重要专业课，是整个数学课程体系中的一个重要组成部分;它既是数学分析、高等代数、解析几何的应用和发展，也是复变函数、微分几何等后续课程的阶梯.该课程知识量大、逻辑性强、应用面广.学好常微分方程，既对学生的科学计算能力、逻辑思维能力、解决实际问题能力的提高至关重要，又是学生养成良好学习习惯、培养创新意识和创新能力的重要途径.本教材依据鞍山师范学院数学与应用数学专业人才培养方案，参考了许多国内常微分方程教材，由鞍山师范学院数学与信息科学学院的三位教师经过多年反复修订而成.本教材在课程内容的选取、概念背景的介绍、微分方程的应用、例题和习题的分级等方面做了精心的安排和设计.
鞍山师范学院数学与信息科学学院常微分方程课程组的三位教师常年从事微分方程在种群模型中的应用研究和数学建模的指导工作，对于常微分方程的教学拥有丰富的经验和深刻的认识.因此，本教材旨在将我们的研究成果、教学经验和认识融汇在一起，为广大学生提供一本适应当前本科常微分方程课程教学的需要，且翔实、系统、易懂的常微分方程教材.本教材涵盖了基本理论、基本方法、典型模型和应用案例，注重定理的叙述、证明的思想方法和解题技巧的选择，提供了较多的例题和习题，使学生更好地掌握常微分方程的基本概念和解题方法，提高建立数学模型和解决实际问题的能力.同时本教材充分利用“互联网 教育”的教学优势，将部分开放的网络视频课与线下教学内容有机结合，有利于培养学生自主学习的能力.本教材可作为师范院校和综合性大学数学与应用数学、信息与计算科学等数学类专业常微分方程课程的教材，也可作为高等学校数学建模课程的参考资料.
本教材共有六章，其中第一章、第四章和第六章由刘兵编写，第二章和第三章由刘双编写，第五章由刘敬娜编写.因编者水平有限，本书一定有不足之处，殷切希望使用本教材的广大师生和有关专家批评指正，以便今后不断改进和完善.
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