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| 編輯推薦： |
《医药数理统计（第4版）》为普通高等教育“十二五”规划教材及全国高等医药院校规划教材，是由全国17所医药院校长期从事数学教学工作的教师联合对第3版教材再次修改完善、编写而成的第4版教材。全书分9章，内容包括概率论基本知识、统计学重要概念与方法、正交试验设计等内容。《医药数理统计（第4版）》的编写既体现了数学学科本身的科学性与系统性，同时又注重其在医药学科里的应用。全书文字简洁、内容精练、由浅入深。每章后配有习题，同时还有《医药数理统计学习辅导》（第3版）配套使用。
《医药数理统计（第4版）》可供医药院校各专业各层次的学生使用，也可作为医药工作者学习数理统计的参考书。
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| 內容簡介： |
《医药数理统计（第4版）》为普通高等教育“十二五”规划教材及全国高等医药院校规划教材，是由全国17所医药院校长期从事数学教学工作的教师联合对第3版教材再次修改完善、编写而成的第4版教材。全书分9章，内容包括概率论基本知识、统计学重要概念与方法、正交试验设计等内容。《医药数理统计（第4版）》的编写既体现了数学学科本身的科学性与系统性，同时又注重其在医药学科里的应用。全书文字简洁、内容精练、由浅入深。每章后配有习题，同时还有《医药数理统计学习辅导》（第3版）配套使用。
《医药数理统计（第4版）》可供医药院校各专业各层次的学生使用，也可作为医药工作者学习数理统计的参考书。
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| 關於作者： |
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马志庆、周介南、杨松涛、尹立群、钱微微、王世钦、郑洁钢、胡灵芝、赵文峰、陈丽君
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| 目錄：
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第4版编写说明
第一章 事件与概率
1-1 随机事件及其运算
1-1.1 随机事件
1-1.2 事件之间的关系及运算
1-2 事件的概率
1-2.1 概率的统计定义
1-2.2 概率的古典定义
1-3 概率的运算
1-3.1 加法定理
1-3.2 条件概率、概率的乘法定理
1-4 全概率与逆概率公式
1-4.1 全概率公式
1-4.2 逆概率公式贝叶斯公式
习题一
第二章 随机变量的概率分布与数字特征
2-1 随机变量与离散型随机变量的概率分布
2-1.1 随机变量
2-1.2 离散型随机变量的概率函数
2-1.3 离散型随机变量的分布函数
2-2 常用的离散型随机变量的概率分布
2-2.1 二项分布
2-2.2 泊松分布稀有事件模型
2-2.3 其他离散型变量的分布
2-3 连续型随机变量的概率分布
2-3.1 连续型随机变量的概率分布
2-3.2 正态分布高斯分布
2-3.3 其他连续型变量的分布
2-4 随机变量的数字特征
2-4.1 均数数学期望
2-4.2 方差和标准差
2-4.3 变异系数相对标准差
2-5 三种重要分布的渐近关系
2-5.1 二项分布的泊松近似
2-5.2 二项分布的正态近似
2-5.3 泊松分布的正态近似
习题二
第三章 随机抽样和抽样分布
3-1 随机抽样
3-1.1 总体与样本
3-1.2 简单随机抽样
3-2 样本的数字特征
3-2.1 统计量
3-2.2 样本的数字特征
3-3 抽样分布
3-3.1 样本均数的u分布
3-3.2 χ2分布
3-3.3 t分布
3-3.4 F分布
3-4 概率分布的拟合及其应用
3-4.1 经验分布
3-4.2 正态概率分布及应用
3-4.3 对数正态概率分布及应用
3-4.4 韦布尔概率分布及应用
习题三
第四章 总体的参数估计
4-1 参数点估计
4-1.1 点估计
4-1.2 正态分布总体参数的点估计
4-1.3 二项分布和泊松分布的点估计
4-2 总体参数的区间估计
4-2.1 区间估计的概念
4-2.2 正态总体均数μ的区间估计
4-2.3 正态总体方差σ2的区间估计
4-3 离散型总体参数的区间估计
4-3.1 二项分布参数p的区间估计
4-3.2 泊松分布参数λ的置信区间
习题四
第五章 总体参数的假设检验
5-1 假设检验的基本思想
5-1.1 问题的提出
5-1.2 假设检验的基本思想
5-1.3 假设检验中的两类错误
5-2 单个正态总体的参数检验
5-2.1 单个正态总体均数μ的假设检验
5-2.2 单个正态总体方差的假设检验
5-3 两个正态总体的参数检验
5-3.1 两个正态总体的方差齐性检验
5-3.2 配对比较两个正态总体均数的检验
5-3.3 成组比较两个正态总体均数的检验
5-4 离散型变量总体参数的假设检验
5-4.1 单个总体率的假设检验
5-4.2 两个总体率的假设检验
5-5 列联表中独立性的检验
5-5.1 2×2列联表四格表中的独立性检验
5-5.2 R×C列联表中独立性的检验
5-6 参照单位法
5-6.1 Ridit分析
5-6.2 用置信区间作显著性检验
习题五
第六章 方差分析
6-1 基本概念
6-1.1 试验指标
6-1.2 因素
6-1.3 水平
6-2 单因素方差分析
6-2.1 数学模型
6-2.2 方差分析的原理与步骤
6-2.3 单因素方差分析的计算
6-2.4 方差齐性检验的步骤
6-3 两两间多重比较的检验法
6-3.1 q检验法Tukey HSD法
6-3.2 S检验法Fisher LSD检验法
6-4 两因素试验的方差分析
6-4.1 无重复试验
6-4.2 有重复试验
习题六
第七章 非参数检验
7-1 配对符号秩和检验Wilcoxon配对法
7-1.1 配对比较的符号秩和检验
7-1.2 样本中位数与总体中位数比较的符号秩和检验
7-2 完全随机设计两样本比较的秩和检验Wilcoxon两样本比较法
7-2.1 原始数据的两样本比较
7-2.2 频数表资料的两样本比较
7-3 完全随机设计多样本比较的秩和检验H检验法
7-3.1 原始资料多样本比较的秩和检验
7-3.2 频数表资料的多样本比较秩和检验
7-4 配伍组设计多个样本比较的秩和检验Friedman秩和检验
7-5 两两比较的秩和检验
7-5.1 多个样本间两两比较的秩和检验
7-5.2 配伍组设计两两比较的秩和检验
7-5.3 多个实验组分别与一个对照组比较的秩和检验
7-6 中位数检验法和游程检验
7-6.1 中位数检验法
7-6.2 游程检验
7-7 等级相关分析Spearman法
习题七
第八章 相关与回归
8-1 相关
8-1.1 散点图
8-1.2 相关系数的概念
8-1.3 相关系数的检验
8-2 线性回归方程
8-2.1 一元线性模型
8-2.2 线性回归方程
8-2.3 预测与控制
8-2.4 多元线性回归与一元非线性回归的简介
8-3 ED50和LD50估计
8-3.1 概率单位法
8-3.2 序贯法上下法
习题八
第九章 正交试验设计
9-1 正交表与交互作用
9-1.1 正交表
9-1.2 交互作用
9-2 用正交表安排试验
9-2.1 交互作用可忽略的多因素试验
9-2.2 交互作用存在的多因素试验
9-2.3 正交试验方案的合理性解释
9-3 正交试验的数据分析
9-3.1 试验结果的直观分析
9-3.2 试验结果的方差分析
9-4 多指标试验
9-4.1 综合加权评分法
9-4.2 综合平衡法
9-5 正交试验设计的灵活应用
9-5.1 不等水平试验
9-5.2 有重复试验的方差分析
习题九
附表
附表1 二项分布累积概率PX≥k值表
附表2 泊松分布累积概率PX≥k值表
附表3 标准正态概率密度φx值表
附表4 标准正态分布函数Φx值表
附表5 标准正态分布的临界值表
附表6 χ2分布的临界值表
附表7 t分布的临界值表
附表8 F分布的临界值表
附表9 多重比较中的q表
附表10 多重比较中的S表
附表11 二项分布参数p的置信区间表
附表12 泊松分布参数的置信区间表
附表13 相关系数临界值表
附表14 百分率与概率单位换算表
附表15 配对比较符号秩和检验用T界值表
附表16 两样本比较秩和检验用T界值表
附表17 三样本比较秩和检验用H界值表
附表18 配伍组试验秩和检验用M界值表
附表19 游程个数检验用r界值表
附表20 Spearman等级相关系数rs界值表
附表21 常用正交表
习题答案
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| 內容試閱：
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第一章 事件与概率
数理统计方法是以概率论为理论基础，通过一定的设计来收集数据和进行整理分析，以部分资料推断总体的一种方法，用它去研究大量随机现象的规律性。由于概率和随机事件是联系在一起的，故事件和概率都是数理统计中最基本的概念。
本章将介绍随机事件、事件的概率及其运算。
§ 1-1 随机事件及其运算
1-1.1 随机事件
当我们多次观察自然现象和社会现象后，会发现许多事情在一定条件下必然会发生或者必然不会发生。例如，纯净的水在一个大气压下，温度是0 ℃ 时必然结冰，在20 ℃ 时必然不会结冰，在100 ℃ 时必然沸腾，在80 ℃ 时必然不会沸腾；又如，把锌放入稀硫酸一定会逸出氢气，而永动机存在是不可能的。这种完全可以预言其结果的现象是一种确定性现象，叫必然现象。
另一类现象，在一定条件下，不可能事前完全准确地预言其结果，也就是它有多种可能发生的结果，是一种不确定性现象，这类现象称为偶然现象。例如，抛起一枚硬币落地时究竟哪一面朝上？ 从一批针剂中抽取一支来检验，其结果可能是正品，也可能是次品，在抽取之前是无法肯定的。偶然现象也称为随机现象。
对各种现象的“观察”称为试验，对随机现象的“观察”就称为随机试验。随机试验具有下列特征：
（1） 在相同条件下，可以重复进行；
（2） 各次试验结果不一定相同，而且每次试验之前不能预先判断哪一个结果发生；
（3） 所有可能的试验结果是预先可以明确的，并且在每一次试验中必有其中一个结果出现。
对某种现象的“观察”而得到的结果就称为事件。在一定条件下，试验结果中必然出现的事件称为必然事件，记为Ω 。例如，｛纯净的水在一个大气压下，加热到100 ℃ 沸腾｝ ＝ Ω ，｛物体会热胀冷缩｝ ＝ Ω 。反之，那种在一定条件下试验结果中必然不出现的事件称为不可能事件，记为?。
例如，｛ x2 + 1 ＝ 0 有实数解｝ ＝ ?，｛人的寿命可达200 岁｝ ＝ ?等。
随机试验观察的是随机现象，在一定条件下，试验结果中可能出现，也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件。随机事件一般用大写字母A ，B ，C 等表示。例如，投掷一个硬币，这个随机试验中有两个事件A ＝ ｛出正面｝和B ＝ ｛出反面｝ 。必然事件与不可能事件可以说不是随机事件，但为了研究方便起见，把必然事件与不可能事件作为随机事件的两个极端来统一处理。
1-1.2 事件之间的关系及运算
在各种现象中，往往要求同时考察几个随机事件及它们之间的联系，下面就来讨论事件的关系及运算。
一、包含
设有事件A 及B ，如果事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含于事件B 或事件B 包含事件A ，并记为A 炒B 或B 车A 。例如，A ＝ ｛乙肝患者｝ ，B ＝ ｛乙肝病毒携带者｝ ，则有A 炒B 。
二、等价
若事件A 包含事件B ，事件B 也包含事件A ，即A 车B 且B 车A ，就称事件A 与B 等价（或称相等） ，记作A ＝ B 。
三、并事件
若事件C ＝ ｛ A 或B 中至少有一个发生｝ ，则称C 为A ，B 两事件的并事件，记为C ＝ A + B 。
例如，A1 ＝ ｛甲份血清含乙肝病毒｝ ， A2 ＝ ｛乙份血清含乙肝病毒｝A ＝ ｛甲、乙两份混合血清含乙肝病毒｝则有A ＝ A1 + A2 。
n 个事件的并事件记为A ＝ Σni ＝ 1Ai 。
四、交事件
若事件C ＝ ｛ A 与B 同时发生｝ ，则称C 为A ，B 两事件的交事件，记为C ＝ A B 。
例如，A1 ＝ ｛甲份血清不含乙肝病毒｝ ， A2 ＝ ｛乙份血清不含乙肝病毒｝A ＝ ｛甲、乙两份混合血清不含乙肝病毒｝则有A ＝ A1 A2 。
n 个事件的交事件记为A ＝ Πnn ＝ 1Ai 。
五、互不相容事件
若事件A 与事件B 不能同时发生，则称A 与B 为互不相容事件，记作A B ＝ ?。互不相容事件也称为互斥事件。n 个事件互斥，是指它们两两互斥。
例如，三人做体检，A ＝ ｛三人正常｝ ，B ＝ ｛只一人不正常｝ ，A 与B 是互斥事件。
若n 个互斥事件的并事件是必然事件，即Ai A j ＝ ?（1 ≤ i ＜ j ≤ n）且Σni ＝ 1Ai ＝ Ω ，则称这n个事件构成互斥完备群。
例如，治疗某种疾病，其疗效标准分为4 个等级：痊愈、显效、微效和无效。那么，就一次试验（治疗一个患者的结果）而言，事件｛痊愈｝ 、｛显效｝ 、｛微效｝ 、｛无效｝是互斥事件，而且这4 个事件构成互斥完备群。
六、对立事件
若在任一次试验中，事件A 与事件B 二者必有一个发生且仅有一个发生，亦即A ，B 同时满足A + B ＝ Ω 及A B ＝ ?两个条件，也就是互斥完备群仅由两事件A 与B 构成，则称事件A与事件B 对立，如果治疗某种疾病，只考虑有效和无效两个等级，那么事件｛有效｝与｛无效｝就是对立事件，或事件B是事件A 的对立事件，当然事件A 也是事件B 的对立事件。A 的对立事件记作?A ，那么就有B ＝ ?A 或?A ＝ B 。
不难理解，对立事件必为互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件。
例如，投掷一枚骰子，事件｛出1 点｝与｛出2 点｝互斥，但不对立，而事件｛出偶数点｝与｛出奇数点｝对立且互斥。
事件之间的这些关系，读者可以通过熟知的韦恩图作直观理解，图1-1 给出几种常见情况。
由事件的定义可知，事件之间的关系与运算同集合的关系与运算是一致的，因此在进行事件运算时，经常遇到下述定律：设A ，B ，C 三事件，则有交换律：A + B ＝ B + A ；A B ＝ BA 。
结合律：（A + B） + C ＝ A + （B + C） ；（A B）C ＝ A （BC） 。
等幂律：A + A ＝ A ；A A ＝ A 。
分配律：A （B + C） ＝ A B + A C ；（A + B）（A + C） ＝ A + BC 。
补余律：A + ?A ＝ Ω ；A?A ＝ ?。
同一律：A + ?＝ A ；A + Ω ＝ Ω 。
零律：A Ω ＝ A ；A ?＝ ?。
德摩根律：A + B ＝ ?A B ；A B ＝ ?A + ?B 。
一个比较复杂的事件常常包含若干个简单事件，把一个复杂事件划成几个简单事件的并、交或混合形式以及找出构成互斥完备群的全部事件是必要的，因为这是讨论事件间关系进而施行运算的重要途径。
例1 依次检查黄芩、黄连、人参三种中药材质量作为一次试验。令A ＝ ｛黄芩合格｝ ，B ＝｛黄连合格｝ ，C ＝ ｛人参合格｝ 。试用A ，B ，C 三个事件表示下列在一次试验中出现的事件：（1） 只有黄芩质量合格；（2） 只有一种中药质量合格；（3） 三种中药质量都不合格；（4） 至少有一种中药质量合格；（5） 构成互斥完备群的全部事件。
解 令?A ＝ ｛黄芩质量不合格｝ ，?B ＝ ｛黄连质量不合格｝ ，?C ＝ ｛人参质量不合格｝ 。
（1） ｛只有黄芩质量合格｝ ＝ ｛黄芩合格且黄连、人参不合格｝ ＝ A?B?C。
（2） 因为｛只有黄芩质量合格｝ ＝ A?B?C｛只有黄连质量合格｝ ＝ ?A B?C｛只有人参质量合格｝ ＝ ?A?B C所以｛只有一种中药质量合格｝ ＝ A?B?C+ ?A B?C + ?A?B C
（3） ｛三种中药质量都不合格｝ ＝ ?A?B?C。
（4）｛至少有一种中药质量合格｝ ＝ A + B + C或者｛至少有一种中药质量合格｝ ＝ A?B?C+ ?A B?C + ?A?B C + ?A BC + A?B C + A B?C + A BC（5） 构成互斥完备群的全部事件有8 个，即Ω ＝ ?A?B?C+ A?B?C+ ?A B?C + ?A?B C + ?A BC + A?B C + A B?C + A BC例2 事件A K 表示某射手第K 次（K ＝ 1 ，2 ，3）击中目标，试叙述下列事件的具体含义：A1 + A2 ；A1 + A2 + A3 ；A1 A2 A3 ；?A2 ；A1 + A2 ；A1 A2 ；A2 + A3 ；A2 A3 ；A1 A2 A3 + A1 A2 A3 +A1 A2 A3 + ?A1 A2 A3 ；A1 ?A2 ?A3 + ?A1 A2 ?A3 + ?A1 ?A2 A3 。
解 A1 + A2 ：前两次中至少有一次击中目标；A1 + A2 + A3 ：三次射击中至少有一次击中目标；A1 A2 A3 ：三次射击都击中了目标；?A2 ：第二次射击未击中目标；A1 + A2 ＝ ?A1 ?A2 ：前两次射击均未击中目标；?A2 + ?A3 ＝ A2 A3 ：后两次射击中至少有一次未击中目标；A1 A2 A3 + A1 A2 ?A3 + A1 ?A2 A3 + ?A 1 A2 A3 ：三次射击中至少有两次击中目标；A1 ?A2 ?A3 + ?A1 A2 ?A3 + ?A 1 ?A2 A3 ：三次射击中仅有一次击中目标。
注意，把一个事件化成若干个事件的并事件时，必须明白是有交并（不互斥） ，还是无交并（互斥） ，这对后面的计算尤为重要。例如，例1 的问题（2）表示成3 个事件的无交并，问题（4）可表示成3 个事件的有交并，或者7 个事件的无交并，问题（5）构成互斥完备群的8 个事件当然是无交并的。
§ 1-2 事件的概率
通俗地说，所谓概率是某一随机事件在试验中发生的可能性大小的数值表示，通常用P（A ）来表示事件A 的概率。P（A ）越大，说明事件A 发生的可能性越大。下面给出概率论中关于概率的两个定义，从中可以了解概率的特性和计算方法。
1-2.1 概率的统计定义
随机事件是一种可能发生，也可能不发生的事件，看起来似乎没什么规律可循，当我们在同一条件下进行大量重复试验时，就会显现某种规律性。若进行条件相同的n 次试验，事件A 出现m 次，则称m 为事件A 的频数，称比值mn 为事件A 的频率，记为f （A ） ＝ mn（1-1）显然，事件A 的频率是通过特定的试验获得的，每做n 次试验，所得到的频率可以各不相同，但经验证明，在同一条件下进行多次重复试验时，事件出现的频率会在某一常数附近左右摆动，这种性质叫做频率的稳定性。
在历史上，这种频率的稳定性是在人口统计方面最先被注意到的。例如，世界上一些国家通过多年观察，发现男婴的出生率稳定在2243 附近，而女婴的出生率稳定在2143 附近。
再如，著名的投币试验。表1-1 列出试验记录。容易看出，投掷次数逐渐增多时，｛出现正面｝这个事件的频率mn 总是在0.5 这个数附近摆动而逐渐稳定于0.5 。
由此可见，频率的稳定性充分说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的一种客观属性，并为我们衡量一个随机试验中随机事件发生的可能性提供了客观基础。
概率的统计定义 在条件相同的n 次试验中，事件A 发生m 次，如果加大n 时，A 的频率m n 逐渐稳定在一个常数p 附近，就把这个常数p 称为事件A 的概率，记为P（A ） ＝ p 。在此定义下有0 ≤ P（A ） ≤ 1 ， P（Ω） ＝ 1 ， P（ ?） ＝ 0 （1-2）概率的统计定义实际上给出了一个近似地计算随机事件概率的方法，即当试验次数n 足够大时，一个事件的频率与概率应充分接近，所以用事件的频率作为概率的近似值。在医药学中，这种估计经常用到。需要注意的是：不要把频率和概率相混淆。频率是已经进行的试验结果，其数值随着试验次数的不同而变化，具有偶然性；而概率是一种客观存在，是个确定的数值，具有必然性。
1-2.2 概率的古典定义
有些事件的概率不用进行大量重复试验也能确定，如表1-1 中的事件，因为硬币是比较均匀的，可以认为投掷一次时，只会出现正面和反面，具有等可能性，谁也没有优先出现的理由。而每次只能出现其中的一个结果，所以出现正面的可能性大小是12 ，即事件A ＝ ｛出现正面｝的概率，P（A ） ＝ 12 。这就是说，可以用划分等可能事件的个数方法求得事件的概率。
为此，先给出等概率基本事件组的定义。
定义1 如果一组事件A1 ，A2 ，? ，An 满足以下条件，则称该事件组为等概率基本事件组：（1） N 个事件，每一个事件出现的概率是相等的（等可能性） ；（2） 任一次试验中，N 个事件中只能出现N 个事件中的一个（互不相容性） ；（3） 任一次试验中，N 个事件中必然会出现一个（完备性） 。
等概率基本事件组记为Ω ＝ ｛ A1 ，A2 ，? ，An ｝ 。
定义2 如果一组等概率基本事件A1 ，A2 ，? ，An 中，事件A 包含m （m ≤ n）个等概率基本事件，则事件A 的概率P（A ） ＝ A 所包含的基本事件个数等概率基本事件的总个数＝ mn（1-3）且有0 ≤ P（A ） ≤ 1 ， P（Ω） ＝ 1 ， P（ ?） ＝ 0这种用等概率基本事件的个数来计算概率的方法称为古典概率定义，它是概率论发展初期的主要研究对象。古典概率的大部分问题都能形象化地归结为抽球问题。
例1 在盒子中有6 个相同的球，分别标号码为1 ，2 ，? ，6 ，从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。
解 Ω ＝ ｛1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6｝ ，基本事件总数n＝ 6 。令A ＝ ｛所取球的号码为偶数｝ ，显然，A ＝ ｛2｝ +｛4｝ + ｛6｝ ，所以A 中含有m＝ 3 个基本事件，从而P（A ） ＝ mn＝ 36＝ 12例2 某厂生产50 件产品，其中，有3 件次品，求（1） 一次取一件，取得次品的概率；（2） 一次取5 件，5 件中有2 件是次品的概率。
解 （1） 50 件产品中取一件，其可能结果有50 个基本事件（每件产品被取到的可能性相等） ，即n＝ 50 。
设A ＝ ｛取到次品｝ ，则A 包含3 个基本事件，即m ＝ 3 。由古典定义得P（A ） ＝ mn＝ 350 ＝ 0.06（2） 50 件产品中任取5 件，其可能结果有C550 个基本事件（C550 种机会均等的取法） ，即n＝ C550 。
设B ＝ ｛5 件中有2 件次品｝ ，则事件B 包含的基本事件数m ＝ C23C347 ，故所求概率P（B） ＝ C23C347C550＝ 9392 ＝ 0.023例3 袋中有2 个白球和8 个黑球，现在无放回地一个个抽出来，求第k 次抽到的是白球的概率（1 ≤ k ≤ 10） 。
解法一 把10 个球当成是有区别的，即设想把它们按1 ，2 ，? ，10 进行编号，若将抽出的球依次排成一排，则全部可能的结果相当于把10 个元素进行全排列，即全部基本事件数为10 ！。
第k 次抽到白球，即排在第k 号位置上的那一个白球，只能在2 个白球中取得，故有2 种抽法。而另外9 次抽的球可在余下的9 个中任取，故有9 ！ 种抽法。以事件｛第k 次抽到白球｝包含的基本事件数为2 × 9 ！，故第k 次抽到白球的概率p ＝ 2 × 9 ！
10 ！ ＝ 210 。
解法二 把2 个白球看成一样，8 个黑球看成一样，把抽出的球仍依次放在10 个位置上，由于白球看成一样，黑球看成一样，所以当白球位置选好，其他位置必放黑球，故总的排法即总的基本事件数为C210 ，而事件｛第k 次抽到白球｝所包含的基本事件数为C2 - 110 - 1 ＝ C19（因为2 个位置中已有1 个位置，即第k 号位置固定放了白球） ，所以p ＝ C19C210＝ 210两种解法结果一样，抽到白球的概率p ＝ 210 ，与次数无关，这正好说明广泛应用于生产和生活中的抽签方法是公平合理的，先抽后抽都一样，机会均等。
需要说明的是，无论是概率的统计定义，还是古典定义，都在概率计算中起一定的作用，但又有着各自的局限性。古典概率是以试验的所有可能结果只有有限个且具有等可能性为基础，
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