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| 內容簡介： |
线性代数是大学理工科和经管类学生的必修课程，在培养学生的计算能力和抽象思维能力方面起着非常重要的作用。《线性代数及其应用（第二版）》以线性方程组为出发点，逐步展开论述矩阵、行列式、向量组及其相关性等概念，并引入许多实例供读者了解线性代数在实际应用中的独特作用，每章后还附有MATLAB实验，供读者学习使用数学软件解决线性代数问题。
《线性代数及其应用（第二版）》为高等学校理工科和经管类各专业线性代数课程教材，同时也可供教师、考研人员及工程技术人员参考使用。
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| 目錄：
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第1章 线性方程组的消元法
1.1 二元和三元线性方程组的求解
1.2 n元线性方程组简介
1.3 高斯消元法解方程组的MATLAB实验
习题一
第2章 矩阵
2.1 矩阵的基本概念
2.2 矩阵的运算
2.3 矩阵的逆
2.4 分块矩阵
2.5 矩阵的初等变换
2.6 初等矩阵
2.7 矩阵运算的MATLAB实验
习题二
第3章 行列式
3.1 行列式的概念
3.2 行列式的性质
3.3 行列式的计算
3.4 逆阵公式
3.5 克拉默法则
3.6 行列式计算的MATLAB实验
习题三
第4章 矩阵的秩与n维向量空间
4.1 矩阵的秩
4.2 n维向量
4.3 向量组的线性相关性
4.4 向量组的秩
4.5 向量空间
4.6 向量的内积与正交矩阵
4.7 秩的计算、向量的正交化的MATLAB实验
习题四
第5章 线性方程组
5.1 线性方程组的可解性
5.2 线性方程组解的结构
5.3 解线性方程组的MATLAB实验
习题五
第6章 特征值与特征向量及二次型
6.1 矩阵的特征值与特征向量
6.2 相似矩阵与矩阵的对角化
6.3 实对称矩阵的对角化
6.4 二次型
6.5 正定矩阵
习题六
第7章 线性空间与线性变换
7.1 线性空间的定义与性质
7.2 线性空间的维数、基与坐标
7.3 基变换与坐标变换
7.4 线性空间的同构
7.5 线性变换
7.6 线性变换的MATLAB实验
习题七
第8章 线性代数的应用
8.1 最小二乘法
8.2 线性规划
8.3 最小二乘法与线性规划求解的MATLAB实验
习题八
习题答案
参考文献
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| 內容試閱：
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第1 章 线性方程组的消元法
求解线性方程组是线性代数的一个核心内容，线性代数的许多理论来源于解
线性方程组，在初等数学中，求解二元、三元线性方程组采用方程组之间的运算消
元法，对于多个变元的情况这种方法就显得烦琐而不好操作.本章将介绍用高斯
消元法求解线性方程组，初步引入矩阵概念，将方程组与矩阵一一对应，通过对矩
阵的初等变换，达到方程组消元的目的，其方法对求解一般n 元线性方程组具有普
遍的意义并切实可行.
1 .1 二元和三元线性方程组的求解
对于二元和三元线性方程组，我们通常是用消元法求解.
例1 .1 解方程组
x + y ＝ 3
x - 3 y ＝ - 1
解由（1） - （2） ，得4 y ＝ 4 ，即y ＝ 1 .再将y ＝ 1 代入（1） ，得x + 1 ＝ 3 ，解
得x ＝ 2 .所以方程组的解为x ＝ 2 ，y ＝ 1 .
例1 .2 解方程组
x - 2 y + 2 z ＝ - 1
3 x + 2 y + 2 z ＝ 9
2 x - 3 y - 3 z ＝ 6
解由（4） - （3） × 3 ，得8 y - 4 z ＝ 12 ，化简为2 y - z ＝ 3
由（5） - （3） × 2 ，得
y - 7 z ＝ 8 （7）
由（7） × 2 - （6） ，得
- 13 z ＝ 13 （8）
解得z ＝ - 1 ，代入（7） ，解得y ＝ 1 .再将y ＝ 1 ，z ＝ - 1 代入（3） ，解得x ＝ 3 ，所以
方程组的解为
x ＝ 3
y ＝ 1
z ＝ - 1
以上两例，均是将方程组进行变形，逐步消去方程中未知变元的个数.当方程
中未知变元只剩一个时，便可直接得到解，再将解依次代入方程，从而求得其他变
元的解.
1 .2 n元线性方程组简介
对于n 元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + … + a1 n xn ＝ b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn ＝ b2
… …
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ＝ bm
是否同样可以用消元法求解？
如果n 元线性方程组具有如下的形式：
a11 x1 + a12 x2 + … + a1 n x n ＝ b1
a22 x2 + … + a2 n x n ＝ b2
… …
ann xn ＝ bn
（1-2）
其中a11 ，a22 ，… ，ann 均不为零，则可以由下到上依次得到方程组的解：
xn ＝ bn
ann
xn -1 ＝ bn -1
an -1 ，n -1
- an -1 ，n
an -1 ，n -1
xn
… …
x1 ＝ b1
a11
- a12
a11
x2 - … - a1 n
a11
xn
形如式（1-2）的方程组称为三角型方程组，这是n元线性方程组的一种特殊形
式，求解比较容易；但对一般的形如式（1-1）的n元线性方程组，是否可以化为三角
形方程组？在例1 .2 中，把一个三元线性方程组化成了三角形方程组，从而得到了
方程组的解，这种方法启发我们用某些变换将方程组化为三角形方程组以便于求
解.但必须保证，对方程组进行变换所得到的新方程组，必须和原方程组有同样的
解.以下的变换能保持方程组的解不变（由读者证明） ：
（1） 将第i 个方程与第j 个方程交换位置.
（2） 将第i 个方程乘以一个非零常数k .
（3） 将第j 个方程加上第i 个方程乘以一个非零常数k .
对方程组实施上述变换时，方程组改变的仅仅是未知量x1 ，x2 ，… ，xn 的系数
与常数项.因此，可以把方程组（1-1） 的系数与常数项列一个表：
a11 a12 … a1 n b1
a21 a22 … a2 n b2
… … … …
am1 am2 … amn bm
这个表和方程组（1-1） 是对应的，称为对应方程组（1-1） 的矩阵，方程组的特
性都可以在这个矩阵中得到体现.当对方程组做出以上三种变换时，方程组所对
应的矩阵也会有相应的变换.变换（1）相当于矩阵第i行与第j 行对换，记为ri 吃rj ；
变换（2） 相当于矩阵第i 行的每一个元都乘以k ，记为kri ；变换（3） 相当于矩阵第j
行的所有元都加上第i 行相应元的k 倍，记为rj + kri .矩阵的这三种变换称为矩阵
的行初等变换，对方程组进行的三种变换就可视为对矩阵做行初等变换，而矩阵通
过有限次行初等变换得到的矩阵所对应的方程组，与原矩阵所对应的方程组是同
解方程组.我们只需解变换后的较为简单的方程组，就可得到原方程组的解.
方程组（1-2） 所对应的矩阵为
a11 a12 … a1 n b1
0 a22 … a2 n b2
… … … …
0 0 … ann bn
其中，a11 ，a22 ，… ，ann 均不为零.这种矩阵所对应的方程组是很容易求解的.由此推
想，一般线性方程组所对应的矩阵，能否通过初等变换化为上面的矩阵形式？或者
得到其他所对应的方程组容易求解的矩阵形式？用高斯消元法，我们可以将方程
组化为最简形式.下面通过例题介绍高斯消元法.
例1 .3 用高斯消元法求解方程组
x - 3 y + 7 z ＝ 20 ，
2 x + 4 y - 3 z ＝ - 1 ，
- 3 x + 7 y + 2 z ＝ 7 .
解方程组对应的矩阵为
A ＝
1 - 3 7 20
2 4 - 3 - 1
- 3 7 2 7
例中形如A1 的矩阵，称为行阶梯形矩阵，其特点是矩阵中每一行的第一个非
零元同列下面的元素都为零；形如A2 的矩阵称为行最简形矩阵，其特点是非零行
的第一个非零元为1 ，所在列的其他元素都为零.
用高斯消元法解线性方程组，就是用行初等变换将方程组所对应的矩阵化为
行最简形矩阵，从而得到方程组的解.
事实上，对于线性方程组（1-1） ，我们并不能保证它一定有解，即使有解，也不
能保证解是唯一的.
例1 .4 解下列方程组：
x - 2 y ＝ - 1
- x + 3 y ＝ 3
x - 2 y ＝ - 1
- x + 2 y ＝ 3
x - 2 y ＝ - 1
- x + 2 y ＝ 1
x + y ＝ 1
x - y ＝ 3
- x + 2 y ＝ - 3
解二元方程组的解的几何意义是直线的公共交点，分别绘出4 个方程的直
线图（图1-1） .
从图中可以看出，方程组（1） 对应的两条直线有唯一交点，从而有唯一解x ＝ 3 ，
y ＝ 2 ；方程组（2） 对应的两条直线平行，无交点，从而没有解；方程组（3） 对应的两
条直线重合，直线上的点都是解，从而有无穷多个解；方程组（4）对应的3 条直线没
有共同的交点，也没有解.
方程组（2） 、（4） 无解.
如果线性方程组（1-1） 有唯一的解，称线性方程组是适定的；如有无穷个解，
称线性方程组是欠定的；如没有解，称线性方程组是超定的.在第5 章中，我们将解
决线性方程组在什么样的情况下是适定的、欠定的或超定的.
1 .3 高斯消元法解方程组的MATLAB 实验
1 .MA TLA B 简介
MATLAB 是美国The MathWorks 公司出品的计算机科学计算软件，从1984
年推出以来，受到广泛的推崇，在很多领域里，MATLAB 已成为科技人员首选的
计算机数学语言.MATLAB语言简洁，功能强大，几乎涵盖了所有的数学计算内容，
人机交互性能好，其表达方式符合科技人员的思维习惯和书写习惯，使用短简的语
句，便能完成许多复杂的计算.MATLAB 是“矩阵实验室”（matrix laboratory） 的缩
写，它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，因此特别适于线性代数求解.
线性代数是一门理论比较抽象、计算强度很大的数学学科，并具有广泛的应用.在
传统教材给出的线性代数的计算方法，如用手工计算，只能解决一些低阶、变量较
少的问题，而在实际中出现的大量的线性问题，都是高阶的和变量很多的，使用
MATLAB 语言辅助线性代数的教学，近几年来已成为流行的教学模式.本书将对
MATLAB 语言作简单的介绍，并在各章中都安排使用MATLAB 语言的实验，以
解决相应章节的计算问题.MATLAB 是科技工作者得力的科学计算工具，读者可
查阅有关的书籍对其进一步了解.
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