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《数学实验基础》可作为高等院校一二年级学生数学实验教材,也可以作为数学建模培训的基础教材,还可作为科研和工程技术人员的参考资料.9787030436610
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| 內容簡介： |
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《数学实验基础》围绕高等数学中的函数?导数?极限?函数的极值?积分?无穷级数?微分方程;线性代数中的矩阵运算?线性方程组?线性变换;概率论与数理统计中的参数估计?假设检验和回归分析等内容,编写了12个数学实验.每个实验力求由一个问题引出,带领读者学习或探索利用所学知识解决问题的方法.在设计实验的过程中,根据实验内容,给出了部分实验在其他领域的应用.例如,实验3极限与导数给出了梯度在图像边缘检测中的应用;实验7矩阵运算及其应用将矩阵的加?减运算应用于图像降噪和运动检测;实验11非线性方程求根引入了非线性迭代产生的分枝与混沌等内容.作为入门教材,《数学实验基础》有助于培养普通院校学生学习工科数学的兴趣,提高解决实际问题的能力.
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| 目錄：
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前言
实验1实验准备1
1.1数学软件简介1
1.2Matlab软件4
1.3Matlab中的变量与函数6
习题1 17
实验2曲线绘制19
2.1离散数据作图19
2.2函数作图25
2.3极坐标系下函数作图26
2.4统计作图28
习题2 30
实验3极限与导数32
3.1求极限的Matlab命令32
3.2函数振荡间断点处的图形观察与研究35
3.3求导数的Matlab命令39
3.4二元函数的梯度及应用举例44
习题3 47
实验4曲面绘制48
4.1网格图48
4.2曲面图51
4.3瀑布图52
4.4符号函数绘图52
4.5等高线的绘制54
4.6曲面交线的绘制56
4.7一种二次曲面绘制方法59
习题4 63
实验5函数的极值64
5.1一元函数求极值64
5.2多元函数的无条件极值66
5.3多元函数的条件极值72
习题5 75
实验6积分及其数值计算76
6.1精确积分的Matlab命令76
6.2数值积分算法及Matlab命令79
习题6 86
实验7矩阵运算及其应用87
7.1矩阵输入的Matlab命令88
7.2矩阵的运算91
7.3矩阵的应用举例95
习题7 106
实验8线性方程组与线性变换108
8.1求解线性方程组的Matlab命令109
8.2线性方程组的迭代解法116
8.3线性变换及迭代119
习题8 122
实验9无穷级数与数值逼近124
9.1圆周率的近似计算124
9.2函数泰勒级数展开的Matlab命令125
9.3函数的泰勒多项式逼近126
9.4无理数的近似计算129
9.5傅里叶级数展开及函数逼近132
9.6调和级数和几何级数收敛性的再认识134
习题9 138
实验10常微分方程140
10.1洛伦茨方程140
10.2常微分方程解析解的Matlab命令141
10.3常微分方程的方向场143
10.4常微分方程的数值解144
习题10 158
实验11非线性方程求根159
11.1非线性方程求解的Matlab命令159
11.2非线性方程求解的一般迭代法162
11.3非线性方程求解的牛顿迭代法166
11.4非线性迭代产生的分枝与混沌169
11.5二元非线性迭代172
习题11 173
实验12数据的统计分析174
12.1父子身高关系问题174
12.2统计分析的Matlab基本命令175
12.3参数估计180
12.4假设检验184
12.5回归分析189
习题12 192
参考文献194
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| 內容試閱：
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实验1实验准备
1。1数学软件简介
目前有许多数学软件，如Matlab，Mathematica，Maple，Lingo，SAS，SPSS等，它们提供了各种强大的运算、统计、分析、求解、作图等功能，下面简单介绍适用于大学数学实验及数学建模教学平台的数学软件。
1。1。1Matlab软件
的含义是矩阵实验室，最初主要用于矩阵的存取，其基本元素是矩阵。经过几十年的完善和扩充，现在已发展成为数学课程及其他许多领域课程的使用工具。在工业环境中，Matlab可用来解决实际的工程和数学问题，其典型应用有通用的数值计算、算法设计，各种学科如自动控制、数字信号处理、统计信号处理等领域的专门问题求解。
Matlab语言易学易用，不要求用户有高深的数学和程序语言知识，不需要用户深刻了解算法及编程技巧。Matlab既是一种编程环境，又是一种程序设计语言。这种语言与C语言，FORTRAN语言等一样，有其内定的规则，但Matlab的规则更接近数学表示，使用更为简便，可为用户大大节约设计时间，提高设计质量。
当前流行的Matlab6。57。0包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包（toolbox。工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包。功能性工具包用来扩充Matlab的符号计算、可视化建模仿真、文字处理及实时控制等功能。学科工具包是专业性比较强的工具包，如控制工具包、信号处理工具包、通信工具包等都属于此类。
开放性使Matlab广受用户欢迎，除内部函数外，所有Matlab主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件，用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包。
本书以Matlab软件为实验平台，在1。2节有Matlab较为详细的介绍。Matlab的官方网站为http:www。mathworks。com，读者从中可以获得该软件的更多信息。
1。1。2Mathematica软件
Mathematica是美国Wolfram研究公司开发的一个功能强大的集成化计算机软件系统。它的主要功能包括三个方面：符号演算、数值计算和图形。Mathematica可以完成许多符号演算及数值计算的工作。例如，它可以做各种多项式的计算（四则运算、展开、因式分解），有理式的计算，也可以求解多项式方程、有理式方程和超越方程的精确解和近似解，做数值的和一般表达式的向量和矩阵的各种计算。Mathematica还可以求解一般函数表达式的极限，求导函数、积分，还可以做函数的幂级数展开，求解某些微分方程等。使用Mathematica可以做任意位的整数的精确计算，分子分母为任意位整数的有理数的精确计算（四则运算、乘方等），可以做任意精确度的数值（实数值或虚数值的数值计算。这个系统的所有内部定义的整函数和数值（实数值和复数值）计算函数也都有这样的性质。使用Mathematica可以方便地作出以各种方式表示的一元和二元函数的图形，可以根据需要自由地选择画图的范围和精确度。通过对这些图形的观察，人们可以迅速形象地把握对应函数的某些特征，这些特征仅仅从函数的符号表达式一般是很难认识的。
Mathematica系统的能力还不仅在于具有上述这些功能，更重要的是在于它把这些功能融合在一个系统里，使它们成为一个有机的整体。在使用Mathematica软件的过程中，使用者可以根据自己的需要一会儿从符号演算转去作图形，一会儿去作数值计算。这种灵活性为使用者带来很大的方便，经常能使一些复杂的问题变得易如反掌，使问题处理起来得心应手。在学习和使用的过程中使用者一定会进一步体会到这些。Mathematica还是很容易扩充的系统，它用于描述符号的表达式和对它们计算的一套记法实际上构成了一个功能强大的程序设计语言，用这种语言可以比较方便地定义用户需要的各种函数，如符号计算函数、数据计算函数、作图函数或其他具有复杂功能的函数，完成用户需要的各种工作。系统本身提供了一批用这个语言写出来的完成各种工作的程序包，在需要时可以调入程序使用。用户自己可以用这个语言写自己的专门用途的程序或软件包。
有关该软件的发行版本、发行价格和其他最新信息都可以从Wolfram公司的网络站点http：www。wolfram，com获取。
1。1。3Maple软件
Maple软件是加拿大滑铁卢大学（WaterlooUniversity研制的一种计算机代数系统。Mafle软件与Matlab，Mathematica已成为当今世界上最优秀的几个数学软件，它以良好的使用环境、强有力的符号计算能力、高精度的数字计算、灵活的图形显示和高效的可编程功能，为越来越多的教师、学生和科研人员所喜爱。Maple软件可用于解决微积分、解析几何、线性代数、微分方程、计算方法、概率统计等数学分支中的常见的计算问题。
Maple软件主要由三部分组成：用户界面（Ins、代数运算器（Kernel、外部函数库（externallibnny。用户界面和代数运算器是用C语言写的，只占整个软件的一小部分，当系统启动时，即被装入。Iris负责输入命令和算式的初步处理、显示结果、函数图像的显示等。Kernel负责输入的编译、基本的代数运算，如有理数运算、初等代数运算，还负责内存管理。Maple软件的大部分数学函数和过程是用Maple自身的语言写成的，存于外部函数库中。当一个函数调用时，在多数情况下，Maple会自动将该函数的过程调入内存，一些不常用的函数才需要用户自己将它们调入。另外有一些特别的函数包也需要用户自己调入，如线性代数包、统计包，这使得Maple在资源的利用上具有很大的优势，只有最有用的东西才留驻内存，这是Maple可以在较小内存的计算机上正常运行的原因。
1。1。4Lingo软件
Lingo是LinearInteractiveandGeneralOptimizer的缩写，即交互式的线性和通用优化求解器，由美国Lindo系统公司（LindoSystemInc。推出，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。其特色在于内置建模语言，提供了十几个内部函数，可以允许决策变量是整数（即整数规划，包括0-1整数规划），方便灵活，而且执行速度非常快，能方便地与Excel、数据库等其他软件交换数据。
1。1。5SAS软件
SAS系统（StatisticsAnalysisSystem是大型集成软件系统，具有完备的数据存取、管理、分析和显示功能。在数据处理和统计分析领域，SAS系统被誉为国际上的标准软件系统。
SAS系统于1966年由美国北卡罗来纳州州立大学开始研制，1976年成立美国SAS软件研究所，并开始对SAS系统进行维护、开发、销售和培训等工作。1985年推出了SASPC6。02版本。自SAS系统推出以来，它的版本更新很快，功能也不断增加。
1。1。6SPSS软件
SPSS是StatisticalPackagefortheSocialSciences的缩写，即社会科学统计软件包，是世界上最早采用图形菜单驱动界面的统计软件，它最突出的特点就是操作界面极为友好，输出结果美观漂亮。它将几乎所有的功能都以统一、规范的界面展现出来，使用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据方法的功能，对话框展示出各种功能选择项。SPSS采用类似Exc表格的方式输入和管理数据，数据接口较为通用，能方便地从其他数据库中读入数据。其统计过程包括了常用的、较为成熟的统计过程，完全可以满足非统计专业人士的工作需要。输出结果十分美观，存储时则是专用的SPO格式，可以转存为HTML格式和文本格式。对于熟悉老版本编程运行方式的用户，SPSS还特别设计了语法生成窗口，用户只需在菜单中选好各个选项，然后按“粘贴”按钮就可以自动生成标准的SPSS程序，极大地方便了中、高级用户。
1。2 Matlab软件
Matlab作为一种编程语言和可视化工具，可解决工程、科学计算和数学学科中许多问题。Matlab建立在向量、数组和矩阵的基础之上，使用方便，人机界面直观，输出结果可视化，是理工科大学生应该掌握的技术工具。
Matlab不仅在数值计算上保持着相对其他同类软件的绝对优势，而且还开发了自己的符号运算功能。另外，Matlab提供了一套完善的图形可视化功能，为用户向第三方展示自己的计算结果提供了广阔的空间。Matlab使用简便，它允许用户以数学形式的语言编写程序，比BASIC语言、FORTRAN语言和C语言等更接近于书写公式，它的操作和功能函数指令就是用平时计算机和数学书上的一些简单的英文单词表达的。由于Matlab是用C语言开发的，它为数不多的几个程序流控制语句同C语言差别甚微，所以初学者很容易掌握。Matlab能发展到今天这种程度，它的可扩充性和可开发性起着不可估量的作用。另外，Matlab还附带许多工具箱：优化工具箱、统计工具箱、符号运算工具箱等。
1。2。1Matlab的启动和退出
启动Matlab有多种方式。最常用的方法就是双击桌面上的Matlab图标，也可以在开始菜单的程序选项中选择Matlab快捷方式，还可以在Matlab的安装路径的bin子目录中双击执行文件Matlab。exe。启动后，就可以进入Matlab的工作环境。首先出现Matlab图标，接着就进入了其默认的如图1。1所示的桌面系统。
Matlab界面上有五个常用窗口（通过更改Desktop菜单里的选项可以组合不同的窗口模式）：命令窗口CommandWindow，起始面板LaunchPad，工作空间Workspace，命令历史CommandHistory，当前目录CurrentDirectory。在标题栏下面，含“File文件”“Edit编辑”“Debug程序除错”“Desktop桌面”“Help帮助”等菜单，熟练使用这些工具按钮可使工作更快捷、更方便。
图1。1 Matlab界面
Matlab中的数学运算符号及标点符号规定如表1。1所示，常用数学函数符号如表1。2所示。
表1。1数学运算符号及标点符号
命令窗口CommandWindow是用户与Matlab进行交互的主要场所，其空白区域用于输入和显示计算结果。可以在该区域键入各种Matlab命令进行各种操作，以及键入数学表达式进行计算等。
示例1计算3+4X5+e5。
解在Matlab命令窗口键入3+4"5+exp5，回车即可显示其计算结果
ans+171。4132。
读者可以自行练习在命令窗口的各种计算操作。
Matlab命令窗口中有一些常用命令，介绍如下：
命令 功能
clear 清除Matlab工作内存中的变量
clc 清除命令窗口中显示的内容
elf 清除图形窗口
who 列出Matlab工作内存中驻留的变量名清单
whos 列出Matlab工作内存中驻留的变量名清单以及变量属性
help 帮助命令
↑ 调出前一行命令，可进行修改
↓ 调出下一行命令，可进行修改
save 有选择的保存工作内存中的变量
quit 退出MatlabFile下的Exit也是退出Matlab的命令）
1。2。2Matlab的数值计算功能
Matlab的强大数值计算功能使其在诸多数学计算软件中傲视群雄，它是Matlab软件的基础。自商用的Matlab软件推出以后，它的数值计算功能就在不断地改善并日趋完善。正是由于Matlab有了如此令人惊叹的强大的数值计算功能，Mathworks公司才有能力把Matlab的应用延伸到不同专业、不同行业和不同部门的各个领域，使其成为世界上最优秀的、应用最为广泛的、最受用户喜爱的数学软件之一。
Matlab数据类型主要包括数字、字符串、矩阵、单元型数据及结构型数据。1。3 Matlab中的变量与函数
Matlab语言不要求对所使用的变量进行事先声明，也不需要制定变量类型，它会自动根据所赋予变量的值或对变量所进行的操作来确定变量的类型。在赋值过程中，如果变量已存在，Matlab语言将使用新值代替旧值，并以新的变量类型代替旧的变量类型。
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