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《高等数学（上册）》内容简明，语言通俗，思路清晰，略去了一些烦琐、冗长的理论推导，增加了许多直观的几何解释和思想方法的阐述，具有广泛的适用性，可供高等院校本科各非数学专业使用，也可供读者自学这门课程使用.
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| 內容簡介： |
《高等数学（上册）》分上、下两册. 上册内容为函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、微分方程. 下册内容为多元函数微积分、多元函数微积分（续）、无穷级数. 每章后面附有习题，书末附有综合练习题和习题答案. 附录中有常用数学公式和图形、微积分发展简史，以便读者学习和了解微积分的发展历史.
《高等数学（上册）》内容简明，语言通俗，思路清晰，略去了一些烦琐、冗长的理论推导，增加了许多直观的几何解释和思想方法的阐述，具有广泛的适用性，可供高等院校本科各非数学专业使用，也可供读者自学这门课程使用.
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| 目錄：
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目录
第1章函数极限与连续1
1.1函数1
1.1.1函数的概念1
1.1.2函数的几种特性2
1.1.3反函数3
1.1.4复合函数4
1.1.5基本初等函数与初等函数5
1.1.6分段函数8
1.2数列极限的概念与性质9
1.2.1数列极限的概念9
1.2.2数列极限的性质10
1.3函数极限的概念与性质11
1.3.1函数极限的概念11
1.3.2无穷小与无穷大13
1.3.3函数极限的性质14
1.4极限运算法则15
1.4.1极限的四则运算法则15
1.4.2复合函数的极限运算法则17
1.5极限存在准则两个重要极限17
1.5.1夹逼准则与**个重要极限17
1.5.2单调有界准则与第二个重要极限19
1.6无穷小的性质及其比较21
1.6.1无穷小的性质21
1.6.2无穷小的比较22
1.6.3等价无穷小的性质23
1.7函数的连续性24
1.7.1函数的连续性24
1.7.2函数的间断点25
1.7.3连续函数的运算27
1.8闭区间上连续函数的性质29
1.8.1**值和*小值定理29
1.8.2零点定理29
1.8.3介值定理30
1.9极限的精确定义31
1.9.1数列极限的精确定义31
1.9.2函数极限的精确定义33
习题134
第2章一元函数微分学39
2.1导数的概念39
2.1.1变化率问题举例39
2.1.2导数的定义40
2.1.3常数和基本初等函数的导数公式42
2.1.4导数的几何意义43
2.1.5可导与连续的关系44
2.2求导法则44
2.2.1函数的和差积商的求导法则44
2.2.2反函数的导数46
2.2.3复合函数的求导法则46
2.3高阶导数48
2.4隐函数的导数由参数方程确定的函数的导数49
2.4.1隐函数的导数49
2.4.2由参数方程确定的函数的导数51
2.4.3相关变化率53
2.5函数的微分53
2.5.1微分的概念53
2.5.2可微与可导的关系54
2.5.3微分公式与微分法则56
2.5.4微分的几何意义57
2.5.5微分的应用57
2.6中值定理58
2.6.1罗尔定理58
2.6.2拉格朗日中值定理59
2.6.3柯西中值定理60
2.6.4中值定理的应用61
2.7洛必达法则63
2.7.1洛必达法则63
2.7.2其他不定式极限的求法64
2.8泰勒公式66
2.8.1泰勒公式66
2.8.2几个常见函数的麦克劳林公式67
2.9函数的单调性与极值69
2.9.1函数的单调性69
2.9.2函数的极值71
2.9.3函数的*值73
2.10曲线的凹凸性与拐点74
2.11函数图形的描绘77
2.12曲线的曲率79
2.12.1曲率的概念79
2.12.2曲率公式80
2.12.3曲率圆81
*2.13一元函数微分学在经济学中的应用82
2.13.1经济学中几个常见的函数82
2.13.2边际成本、边际收益、边际利润及其经济学意义82
2.13.3弹性及其经济学意义83
习题284
第3章一元函数积分学90
3.1不定积分的概念与性质90
3.1.1不定积分的概念90
3.1.2不定积分的基本公式91
3.1.3不定积分的性质92
3.2换元积分法93
3.2.1**类换元法94
3.2.2第二类换元法97
3.3分部积分法100
3.4有理函数的积分103
3.5定积分的概念与性质105
3.5.1定积分问题举例105
3.5.2定积分的定义106
3.5.3定积分的几何意义108
3.5.4定积分的性质109
3.6微积分基本公式111
3.6.1变速直线运动路程计算的启示111
3.6.2变上限的积分及其导数112
3.6.3牛顿莱布尼茨公式114
3.7定积分的换元法与分部积分法115
3.7.1定积分的换元法115
3.7.2定积分的分部积分法118
3.8反常积分120
3.8.1无穷区间上的反常积分120
3.8.2无界函数的反常积分122
3.9定积分的几何应用124
3.9.1定积分的元素法124
3.9.2平面图形的面积125
3.9.3立体的体积128
3.9.4平面曲线的弧长129
3.9.5旋转体的侧面积131
3.10定积分的物理应用132
习题3134
第4章微分方程142
4.1微分方程的基本概念142
4.2一阶微分方程143
4.2.1可分离变量的微分方程144
4.2.2齐次型方程145
4.2.3一阶线性微分方程145
4.2.4伯努利方程148
4.3可降阶的二阶微分方程 149
4.3.1y″=fx 型的微分方程149
4.3.2y″=fx，y′ 型的微分方程150
4.3.3y″=fy，y′ 型的微分方程151
4.4线性微分方程解的性质与结构152
4.4.1线性微分方程解的性质152
4.4.2线性微分方程解的结构153
4.5二阶常系数线性微分方程154
4.5.1二阶常系数齐次线性微分方程154
4.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程156
4.5.3欧拉方程160
习题4161
综合练习题164
参考答案176
习题1176
习题2177
习题3180
习题4183
综合练习题185
附录1常用数学公式与图形191
附录2微积分发展简史200
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第1章 函数 极限与连续
本章主要内容有：函数的基本概念，极限的概念、性质、法则、求法，函数的连续性的概念与性质.
1.1函数
函数是高等数学研究的对象. 读者在中学数学中学习过函数的知识，本节仅做适当的复习与补充.
1.1.1函数的概念
定义1.1.1设x和y是两个变量，D是一个实数集. 如果对于每个x∈D，变量y按照一定法则f总有**确定的值与它对应，则称y是x的函数，记为y=fx. D称为这个函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量.
当x取值x0∈D时，与x0对应的y的值称为函数y=fx在点x0处的函数值，记为fx0. 全体函数值构成的集合Rf=y|y=fx，x∈D称为函数的值域.
xOy面上的点集x，y|y=fx，x∈D称为函数y=fx的图形，函数的图形通常是xOy面上的一条曲线.
我们通常用解析式和图形表示函数，两种方法结合起来，可以收到很好的效果，既直观，又便于运算，这种方法称为数形结合法.
定义域、对应法则是构成函数的两要素. 定义域相同、对应法则也相同的函数是同一个函数，例如y=|x|和y=x2表示的是同一个函数.
在不考虑函数的实际意义时，我们约定：函数用解析式给出时，函数的定义域（自变量的取值范围）是使解析式有意义的一切实数的集合.
求定义域的步骤：
（1） 根据运算要求列不等式或者不等式组（分式要求分母不等于零，开偶次方要求被开方数大于等于零，对数lnx要求真数x0，反正弦函数arcsinx、反余弦函数 arccosx要求|x|≤1等）.
（2） 解不等式或者不等式组.
例1.1.1求函数fx=ln11-x+x+2的定义域.
解根据运算要求，得
11-x0，x+2≥0，
解得-2≤x1，所求定义域为［-2，1.
1.1.2函数的几种特性
1. 有界性
设函数fx在实数集X上有定义，如果存在M0，使得任一x∈X，都有
|fx|≤M，
或存在m，M ，使得任一x∈X，都有
m≤fx≤M，
则称fx在X上有界.
有界函数的图形介于两条平行线之间.
例如：|sinx|≤1，|cosx|≤1，所以sinx，cosx是有界函数.
2. 单调性
设函数fx在区间I上有定义. 如果对于任意的x1，x2∈I，当x1x2时，总有
fx1fx2，
则称fx在区间I上是单调增加的（或递增的）. 如果对于任意的x1，x2∈I，当x1x2时，总有
fx1fx2，
则称fx在区间I上是单调减少的（或递减的）.
单调增加的函数的图形是一条沿x轴正方向上升的曲线，单调减少的函数的图形是一条沿x轴正方向下降的曲线.
例如：sinx在区间[-π2，π2]上单调增加，cosx在区间［0，π］上单调减少.
3. 奇偶性
设函数fx的定义域D关于原点对称，如果对于任意的x∈D，总有
f-x=fx，
则称fx是偶函数；如果对于任意的x∈D，总有
f-x=-fx，
则称fx是奇函数.
偶函数的图形对称于y轴，奇函数的图形对称于原点.
例如：x，x3，sinx是奇函数，x2，x4，cosx是偶函数.
4. 周期性
设函数fx的定义域为D，如果存在T≠0，使对任意的x∈D，都有
fx+T=fx，
则称fx为周期函数，称T为fx的周期. 通常我们所说的周期函数的周期是指*小正周期.
周期函数只需画出一个周期上的图形.
例如：sinx，cosx是以2π为周期的函数，tanx，cotx是以π为周期的函数.
1.1.3反函数
设函数y=fx的定义域为Ix、值域为Iy. 如果y=fx在Ix上单调，则对于每个y∈Iy，总有**确定的x∈Ix与它对应（图1.1.1），因此x也是y的函数，这个函数称为y=fx的反函数，记为x=f-1y.
习惯上用x表示自变量，用y表示因变量，通常把反函数x=f-1y改写成y=f-1x.
反函数y=f-1x的定义域、值域分别为函数y=fx的值域、定义域；函数y=fx与其反函数y=f-1x的图形对称于直线y=x（图1.1.2）.
图1.1.1
图1.1.2
已知函数y=fx，求反函数y=f-1x的步骤是：先由y=fx解得x=f-1y，再交换x，y，得其反函数y=f-1x.
例1.1.2求y=2-3ex的反函数.
解由y=2-3ex得，ex=2-y3，解得
x=ln2-y3，
所求反函数为
y=ln2-x3.
1.1.4复合函数
设函数y=fu的定义域与函数u=φx的值域的交集不是空集，则称函数y=f［φx］是由函数y=fu与u=φx复合而成的复合函数，并称u为中间变量，y=fu称为外层函数，u=φx称为内层函数.
还有多个函数复合的情形，例如y=eu，u=cosv，v=1+x2构成复合函数
y=ecos1+x2.
当然，一个复合函数也可以分解成几个简单函数.
例1.1.3已知函数fx=1-x1+x，求复合函数f1x.
解（x≠0）.
由例1.1.3看出：已知函数fx，求复合函数f［φx］，只要以φx代替fx中的x.
例1.1.4已知复合函数fx+1x=x2+1x2，求函数fx.
解我们用两种方法求函数fx.
方法一令t=x+1x，解得
x2-tx+1=0，x=t±t2-42，
代入复合函数，得
故fx=x2-2.
方法二fx+1x=x2+1x2=x+1x2-2，
令t=x+1x，则ft=t2-2，故
fx=x2-2.
例1.1.4的**种解法是已知复合函数f［φx］，求函数fx的一般方法：令t=φx，解出x=φ-1t，代入f［φx］，求出ft，再将t换成x，得fx.
第二种解法是先将复合函数f［φx］用φx表示出来（如果容易表示出来的话），然后将t=φx直接代入f［φx］，这种方法较为简便.
1.1.5基本初等函数与初等函数
在中学数学中，我们学习过幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这五类函数称为基本初等函数.
1. 幂函数
y=xα（α为常数）.
幂函数的定义域要根据α的取值来确定，但无论α取什么值，幂函数在0，+∞总有定义，它们的图形都通过点1，1.
y=x，y=x2，y=x3，，y=1x是几种常见的幂函数，它们的图形如图1.1.3所示.
图1.1.3
2. 指数函数
y=axa0，a≠1.
指数函数y=ax的定义域是-∞，+∞，值域为0，+∞. a1时，y=ax单调增加；0a1时，y=ax单调减少.指数函数的图形如图1.1.4所示，它位于x轴的上方，且通过点0，1.
以无理数e=2.7182818 为底的指数函数y=ex是科学技术中常用的指数函数.
图1.1.4图1.1.5
3. 对数函数
y=logaxa0， a≠1.
对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，它的定义域是0，+∞，值域为-∞，+∞. a1时，y=logax单调增加；0a1时，y=logax单调减少.对数函数的图形如图1.1.5所示，它位于y轴的右方，且通过点1，0.
以无理数e为底的对数函数y=logex是科学技术中常用的对数函数，称为自然对数函数，简记为y=lnx.
4. 三角函数
正弦函数y=sinx是以2π为周期的周期函数，定义域为-∞，+∞，值域为［-1，1］，如图1.1.6所示.
图1.1.6
余弦函数y=cosx是以2π为周期的周期函数，定义域为-∞，+∞，值域为［-1，1］，如图1.1.7所示.
图1.1.7
正切函数y=tanx是以π为周期的周期函数，定义域为x≠kπ+π2k∈Z，
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