薛定谔的猫咪日记 1
实况野球 6
现在，很想见你 10
近似完美句子 14
生死一线间 20
少年哥的富翁漂流 29
伊伊港载货 36
愤怒的小鸟：角度，很重要 43
Face on FIRE !!! 48
有机农作物 55
热爱冒险的男人 61
真实的冒险 68
仙灵岛 74
排队看晚会是大学生必解任务 81
关于戳戳乐 85
目录
XI
RamdomoTM 91
巧克力 99
寻找新商机 107
非死不可：Connect you to the hell 113
SF online 118
V 城追杀录 122
艾潘尼捎信 128
格兰杰的遗嘱 135
四月某个晴朗的早晨遇见100%的女孩 141
学概率送半导体制程 146
大雄的高斯人生分布 156
男子大学生的日常 161
给想继续挑战的读者们 173
概率的意义 173
随机变量与其函数 175
随机变量random variable, RV 175
概率质量函数probability mass function, PMF 175
累积分布函数cumulative distribution function, CDF 176
概率密度函数probability density function, PDF 177
期望值E[X] 178
条件概率 179
联合CDF、PMF、PDF 180
各种概率分布 181
期中考题 185
內容試閱：
还记得三年前某日，我在台湾大学（后简称台大）电机系必修课概率与统计班上跟大家说：以后有一天，我们一定会出版一本书，让这个世界看到你们超级精彩的创作才华！三年后的今天，我们终于做到了！这一切源自于四年前我开始的一场教学创新实验。本人的教学生涯始于2001 年，那一年在密歇根大学当助教教课。在20012010 年这十年中，我一直认为教书就是要教得清楚、教得有趣，教学理念就是追求Be clear, Be fun。直到2010 年，我侥幸得到了台大的教学杰出奖。这个奖项历年得奖的都是台大教学素负盛名的前辈们。能与这些前辈齐名，对我是很大的鼓励！那时起，我似乎有了一种错觉。就像武侠小说中描写的人物那样，觉得自己的教学仿佛已臻化境？颁完奖后的两天，我在教室上课。当天依然使出浑身解数，尽可能地把课上得清楚、上得有趣。可是，我不由得注意到在后排有三四位同学，一直在打瞌睡。等等，不是教学已臻化境了嘛？怎么还会有人度估（闽南话，意思是：快睡着了，头低着，不断点头）？！以前上课学生度估也不以为意，但现在看到那些度估的人，却很像不小心看到液晶屏幕坏点后便不由自主一直往那里看一样。在那天，那些上课度估的人影一直在我眼前启现。我心里一直在想：怎么会有人度估？已经教得很清楚、很有趣，怎么还会有人度估？一直到当天晚上入睡时，这样的疑惑依旧占据我的脑海，当晚因此辗转难眠。苦思到半夜才突然想到：原来他们就是没有学习动机啊！对于没有学习动机的学生而言，老师教得再清楚、再有趣，他也不会想听。以前以为教得清楚有趣，学生自然就会有动机听。其实并不是这样的啊！该怎么样才能燃起学生的动机？该怎么样才能让他的动机热烈持续For the student,By the student,Of the student!By 叶丙成序一一整个学期？这些才是教学能否成功的关键！在那当下，我才惊觉自己在教学上的道行实在太浅。想到自己竟曾生起已臻化境的念头，不禁冒了一身冷汗！所以，说起来，真的要感谢四年前在我课堂上度估的同学们，是他们点醒了我。我的教学理念从此改变！从那一夜起，我在教学上开始追求如何让学生能持续有动机地学习。究竟该怎么做才能提起学生的学习动机呢？这个问题一直困扰着我。恰好在同一段时间，我也被另一个问题苦恼着：如何解决常见的作业抄袭问题？根据我去台湾各地演讲访查的结果，发现台湾大学生的作业抄袭问题非常严重。学生抄作业固然不对，但也有其背后的原因。主要是台湾大学生修课的学分太重了，一学期修二十几学分，八九门课，远比美国大学生四五门课多很多。一学期修八九门课，学生根本没有时间好好地去思考，更别说自己去把作业好好地琢磨出来。一个作业题目如果花了两三分钟还做不出来，很多人便会去看习题解答。因为有好多科目都要顾，没办法单单只在某科某题作业上冒险花那么多的时间。因此学生或是抄袭直属学长学姊过去留下来的作业答案（学生称之为家产），或是抄袭现役同学的作业答案，或是抄袭学校旁影印店所卖的各科教科书习题解答。作业抄袭，是台湾非常严重的问题。那该如何解决呢？我想到了一石二鸟的方法！决定把作业变成一种多人的在线游戏。每教完一个章节，我就让学生自己设计作业题目，然后互相攻破别人的题目。攻破越多题目的人，在地图上就越领先大家。由于题目都是每组学生自己设计的，同学想抄答案也没得抄，只能被迫好好自己去思考如何按部就班地解出别人的题目！非常感谢我的研究生姜哲雄、唐伟轩，他们以优异的程序设计能力将这个多人在线游戏平台建构出来。2011 年下学期，我们的系统正式上线，名字叫做BJTOnline！（细节详见：pcyeh.blog.ntu.edu.twarchives135）BJT-Online 这个出题互解的在线游戏，一方面因有游戏的元素使得学生非常投入，另外一方面也因为题目是靠学生自己出题，所以学生花了更多时间研读课本内容，希望能找出好的材料来设计好的题目。另外我也发现学生通过自己设计题目的经验，他们对于题目隐藏架构的洞察力和解题能力，都有显著提升！此外，对于数学教育我一直有自己的坚持：学生学会以后要会用！我发现很多学生看到变成数学公式的问题后，都很会解题。但若是在生活或是研究中，碰到实际的问题，却有很多人不会利用数学去求解。这是为什么呢？主要的原因是学生看得懂数学式子与数学的语言，但日常生活所碰到的问题，却常常都是以人的语言来描述的。很多学生欠缺将人的语言转译成数学语言的能力，以至于碰到实际的问题时，他们无法运用所学的数学知识来解决这些问题。因此我出的概率考试题目，每年都是很变态的满满三大页全是字的应用题，很少出现数学式子。学生往往戏称考我的题目像是在考阅读测验一般！每年考题都是以印第安纳琼斯博士为主题来设计出糅合故事与数学的题目。我的目的就是要从中磨炼学生应用数学于实际问题的能力。另外由于题目都相当有故事性、趣味性，常常在考场中看到学生边做题边莞尔的景象。我的理念就是：要让学生考不好也会笑！我希望让学生即使考不好，也还是对这科目有好印象。
他日若因其他原因而需重拾这方面的学问时，相信这些学生也比较能再燃起对这科目的学习热情。由于我出的题目都是这类型的题目，台大同学们出的作业题目也因此有着类似的风格。这些年来，台大电机系同学们的创作能力，每每让我惊叹！大家设计的概率题目糅合了数学与各式各样的故事：有悲惨世界入题的，也有叶问入题的；有村上春树入题的，也有哈利波特同人志入题的。台大电机同学们惊人的创意作品，往往让我拍案叫绝！由于我让学生出题的缴交期限多是半夜三点（ㄟ ... 不是我变态，是配合学生们的作息 @@）。我常常半夜三点在床上用平板上网看学生出的题目，每次都忍俊不禁，边看边哈哈大笑。在旁早已入眠的内人，常常都被我的笑声吵醒，实在过意不去！（老婆啊！这真的都是我学生害的啊！）这种让学生出作业的教学方法，后来收到很大的成效。学生学习效果较我以往传统式的教学进步很多。学生的学习动机也显著提升。从采用这种教学方法之后，我又衍生出许多教学方法：让学生评分、让学生设计课程、让学生决定学习步调等。我这一系列的教学方法，都有我的新教学理念贯穿其中：For the student, By the student, Of the student!现今很多老师的教学理念都是For the student, By the teacher, Ofthe student?。往往都是老师为了学生，辛辛苦苦把一切东西都准备得好好的，替学生设计了各式各样的教材、作业、题目。一切工作都是老师独自在做，但为学生做了这么多，却常常得不到学生的肯定与响应，他们的学习效果也不如老师预期的好。为什么呢？个中原因就在于老师剥夺了学生学习的主动权，以至于学生失去了学习的乐趣，也失去了学习的动机。试想，若一个人每天都被人家硬塞大鱼大肉，他对于吃还会有什么欲望吗？我们该做的是让学生饿！让学生重拾学习的主动权！只要将我们老师平常在握的教学权力（出题、评分、授课），部分下放给学生，学生就会觉得自己对学习有更多的主导权。他们对课程的学习也将会更有动力、更有兴趣！老师同仁们，我们不需要再把自己搞这么累了！辛苦半天，却像个不被感激的老妈子一样，何必呢？就给点空间放手让学生胡搞瞎搞一阵吧！2015年8月
严格说起来，这篇序言是我在本书中唯一的创作。在编写这本书的过程中，我所扮演的角色只是，从累积好几年的作业里，挑出适合的作品，然后和其他作者们讨论，一起将题目与解答改写成一篇篇散文，试着让那些就算提不起劲解题目的少数（多数？ 读者，也能享受阅读的乐趣、感受到题目的创意，还有那理当跟作业完全扯不上关系的趣味。我们活在一个自由的时代，可以自己选择就读哪门科系、从事哪份职业，甚至连让谁走进总统府，看起来都是我们说了算。但事实上，绝大多数的我们依然循规蹈矩，走在别人走过的路上。这样的道路不见得不好，假如是经过时间淬炼的路径，也就是所谓的传统，那么跟随优良的传统，可以避免不必要的错误尝试。然而，有些时候因为习惯，因为好像大家都这么做、这么想，所以我们一不小心，即将一些事情或行为视为理所当然。这本书想传递的就是一些其实不一定这样的想法。纸上的电机之夜序二By 赖以威※ 出题比解题学得更多我的指导教授教导我，做研究最重要就是不要因为书本或论文这么写，所以这么做，几千年前也有一位老师说过尽信书，不如无书。对每件事都保持着怀疑的心态、亲自尝试，直到发现能说服自己的理由，才真正接受这件事。这是我在念研究生时，亲身体验、学到最宝贵的一课。想想把思考的责任交给素未谋面的人，不是一件不负责任的事吗？虽然没有问过叶老师，但我想他必定也将这样的研究精神应用在他热爱的教育之中，仔细检验课堂中的每一个步骤。嗯，为什么一定要由老师出题，而不让学生彼此之间出题竞争呢？这个念头仿佛是一颗种子，而这本书则是种子发芽、茁壮后，开出的一朵花。叶老师开这门概率课时，我已经毕业很多年了（面不改色摸摸鱼尾纹。知道他用这种方式，要求学生互相出题考对方后，我想象了一下：如果是大学时代的我，恐怕也会一不小心就误入陷阱，努力出题设计同学。教过人、站在学习的另一端体验过的人都知道，从讲解或出题过程中所学到的东西，绝对比解题更多。解题只要将出题者发过来的球打回去就可以，但出题却必须了解所有知识，才知道该如何设计题目、如何发出一记难接却有意义的球。※ 理工人的文字舞台我很享受整理这本书的过程。书中有些文章融合了大学生活与数学概率。阅读时，文字仿佛像夜市里的夹娃娃机，一把伸进大脑的深处，将青春的尾巴和大学回忆，一个个钩出来。大学晚会、图书馆念书、新生入学前总期待自己能收到学妹，新生入学后第一天，忍不住把失望的怒气发泄在学弟身上。这些事情我都做过 对不起，学弟。除此之外，还有许多文章的灵感源自于文学名著、电玩游戏、热门电影。这是一份集体创作，叶老师、一起合作的八位学弟黄大珉、萧乐山、陈威宇、谢瑞贤、郑子宇、朱柏宪、陈鸿猷、柯劭珩，以及许多未曾谋面的，修了这门概率课程的学弟学妹们。合作过程中，除了看见他们如何充满创意地将生活中的数学元素萃取出来，刚满二十岁的他们，对文字的掌握度与表达能力，更令我惊艳。这让我想起大学时，每系都有自己的晚会，系上同学能在晚会中尽情展现学业以外的才艺。以前我很喜欢去这种晚会（内文恰恰有一篇计算晚会排队方式与入场概率的文章，除了能趁机对暗恋的学伴献殷勤，也能看见朋友深藏不露的一面，那种感受总是很惊奇、很有趣。这本书的每一页就是一片舞台，让出题的学弟学妹们有机会在各位面前舞文弄墨。希望各位读着读着，会像参加大学系上晚会一样感到惊喜，心中浮起原来理工人也有这么好的文笔的感受。左脑跟右脑，本来就不像蓝绿两党一样可以这么简单地区分开来，不是吗？※ 无趣的不是数学，而是基本动作此外，我私心把序言当作许愿池，希望这本书能改变大家对数学的误会──误会数学总是无趣。或许，这称不上误解，毕竟要是在街上随机抽样，十位路人中，大概有九位不仅会认为数学很无聊，还能说出许多充分理由，因为从七岁到十八岁，甚至到二十二岁大学毕业，再可怜一点的到二十四岁研究生毕业，我们多少都曾经遭受过数学的荼毒。然而我认为，大多时候我们感受到的无聊并非数学本身，是关于数学的基本动作。数学是一门累积了几千年的学问，不像语言偶尔有例外──偶尔有不规则动词、偶尔这样用或那样用都差不多。数学讲究高度的精确与量化。学校义务教育的课程中，大部分练习的都只是数学的基本动作，就像打篮球要练习运球、上篮；念英文时要背单词和动词时态；打桌球时要对墙打、挥空拍，这些也是篮球或英文或桌球的一部分，但跟我们想象中那种在球场奔驰、背着背包在国外自助旅行与外国人对话的感觉又不太一样。不论哪一门知识或技艺，基本动作练习都相当无聊。不然《灌篮高手》里的樱木花道，就不会在前几集里整天抱怨自己只能在场边弯腰运球。为了熟练，我们必须硬生生地将数学与生活切割开来。翻开课本，只看见冷冰冰、宛如死去的数学基本动作。真正的数学隐藏在生活之中，隐藏在账单、科技产业、电玩游戏中，还有各种更难以想象的地方。这本书或许有些地方太过浮夸、有些地方不切实际，又有些地方纯属博君一笑。可是，我希望透过它，让大家感受到数学的温度，并且重新思考：数学其实没有这么讨厌、这么恼人。2015年9月
薛定谔的猫咪日记
难 度：★★★使用技巧：解题者须理解条件概率的意义，并灵活地使用对称性和排列顺序不影响概率的特性。原作者：陈威宇、萧乐山、郑子宇
这个世界，有些事情不知道也没有关系
久违的朋友保罗.狄拉克1，
搬到都柏林后，我已经找到教职了，请您不用担心。我很怀念和您在牛津大学共事的日子。这里蛮冷的，但是不湿，所以不会太难受。
言归正传。今天散步的时候，我想起前几天做的实验，有些想法，希望给您看看。容我摘录一段最近的实验
1 Paul Dirac。
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2日志。8月1日：统一场论的研究仍然没有头绪。不过又到了每天最快乐的时刻：和我的猫咪们一起做实验的时光。每次听到它们天真的呜呜声，就令人忘记所有烦恼。作为一个物理学家，秉持着实验精神去确认一切是很重要的。因此，为了验证我的理论，我准备9个箱子，里面放置了放射性元素的毒气机关其实第一次按下开关的时候，我也有点下不了手，可如果为了真理的话，有什么牺牲也是没办法的吧，小宝贝们？实验设计还是比较简单的，每次在9个箱子中各放一只猫，它们死亡的概率分别为0.1，0.2，，一直到0.9，我将它们排成九宫格，并编上1~9号，接下来几天，我要来用这些猫箱进行实验8月7日：实验3我打开了其中5个猫箱，发现301、304、305死了，302、307活着，可以藉此计算下一个打开的猫箱还有活猫的概率301是我最喜欢的一只虎斑猫，它的眼睛比琥珀还漂亮。不过，过去的都过去了。让我看看下一个箱子8月12日：实验7我打开了其中4个猫箱，这次704, 705死了，701, 703活着，让我来推算一下再打开3个猫箱，里面死两只活一只的概率是多少今天是我生日，全家度过了愉快的一天，明天也要以愉快的心情继续做实验。当做数据整理时，我忽然发现8月7日和8月12日这两天所得出的概率值虽然复杂，但两者呈现出非常漂亮的比例。可惜的是，后来数据不小心沾上了血渍，已经看不清楚了。然而，如果这个漂亮的比例不是偶然，就能再次将其推导出来。22概率考题书.indd 2
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若令8月7日所得出的概率为p，而8月12日所得出的概率为q，又猫咪的编号只是代号，和放入哪个箱子没有关系。那么就是说，现在有9个猫箱，其中猫死亡的概率分别是0.1~0.9。p为在打开5个箱子后，确认猫3死2活的情况下，打开下个猫箱看到1只活猫的概率；q为在确认猫2死2活的情况下，再打开3个猫箱，看到猫2死1活的概率，那qp是多少呢?
这个问题困扰我好几天。一开始我列出许多情况，作了繁复的计算，却毫无进展。一直到方才喝下一杯冰啤酒时才骤然有了灵感。我决定分几个阶段考虑这个问题，利用条件概率来找出p，q的关系，因为直接算p和q会相当复杂。这个过程也让我充分认识到，正因为大部分人光是活着就已经够累了，所以不需要特别去追根问底，这样日子才会轻松点，对吧，保罗？看来大部分人知道的少得可怜，这个世界才能在表面上和平运作呢！
为了说得更清楚，让我用数学语言再重复一次，方便起见，我
以■表示死亡，□表示存活：p=P■■■□□后□ P■■■□□q=P■■□□后■■□ P■■□□
现在参照下图：
也就是说，令
A =P■■□□■ P■■□□B =P■■□□■□ P■■□□■C =P■■□□■□■ P■■□□■□D =P■■□□■□■ P■■□□
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根据条件概率的定义，可得到
ABC =D
现在，根据p的定义，B =p。你可能会问，我怎么知道前5只猫打开时状态按照顺序是死死活活死呢？其实这只是示意图，前5只猫的死活顺序不一定如此，但所有顺序都会得出同样的条件概率，仅是为了说明方便而写出一个顺序。重复一次，p的定义，是已经知道死3活2后活1的概率。而死3活2的顺序是任意的。
让我们来算A，C，道理是与上述类似的。由于猫咪的死亡率是
0.1~0.9对称，故直观上当死的猫和活的猫数目相同时，下一只猫是死是活的概率亦相同，故为0.5。如果这样还没有说服你，可考虑由于猫咪的生存率亦为
0.1~0.9，故将死活情况对调后，即有A =P■■□□■ P■■□□ = P□□■■□ P□□■■又由于前4只猫的死活顺序不影响条件概率，故有A=P■■□□□ P■■□□=P□□■■□ P□□■■这两者即为在2死2活的情况下，下只猫是死或活的概率，明显相加为1，概率又相同，故皆为0.5。C的情况亦然，故
ABC =p 4 D与q的关系也不难得到。因为P■■□□后■■□包含3种情况：
~ ■□■, ~ □■■, ~ ■■□而顺序排列并不会影响其概率，这3种情况的概率都是相等的，故D =q 3
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q=3p 4 q p=0.75
说了这些，时间已经晚了，保罗，我还要准备教材呢，我们回头再联络吧。假如您有什么疑问，不管是今天这个问题，或是其他关于物理的，请和我说，不要怕打扰。我一个人在这里闲得发慌。真希望大战赶快结束，这样我就能回到苏黎世拜访昔日的同事去。
德国人真的病了，说什么为了保持德意志精神的纯净竟然把人送进毒气室。咱们科学家为的是追求真理才把猫送进了毒气箱子，这境界是纳粹政府不会懂的！真理看不着，摸不着，不能吃，可是又有什么关系？在这样的时刻，能写信给另一位伙伴，他
也同样把真理看得比享乐、责任，甚至生命来得重要，想到这里我就感到欣慰！
你最诚恳的朋友，埃温.薛定谔1
1 Erwin Schr.dinger。
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6实况野球难 度：★使用技巧：概率乘法原理与加法原理。原作者：黄胤勋、吴京达、王唯轩实况野球难 度：★使用技巧：概率乘法原理与加法原理。原作者：黄胤勋、吴京达、王唯轩概率考题书.indd 6
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现在两好三坏满球数，满垒，还在场上投球的达比修有1弯下腰，专注地看着捕手的指示
现场的加油声在达比耳中已一片模糊，极度的疲累让他全身血液变得混浊，视线开始不稳。跟球场上其他地方相比，他所站立的投手丘上这片黄土，早被汗水浸湿，呈现出另一种更深的咖啡色。
世界大赛第七战，关键的第九局，1∶0的僵局是否会在这里被突破？达比修有退出投手丘，似乎要调整节奏达比仰望天空，深深吸了口气。前八局这样一路投了过来，也
仅仅只被敲出两支零星安打2，没想到这局一上来就是连保送三个。体力真的已经到达极限了啊，他喃喃说道。接下去，他发挥专注力，三个保送后，通过守垒员的绝妙配球，
接连振掉对方两位击球手。压力仍在，但总算减轻了不少，他看着沸腾的观众席嗯?好像不对，根本没有这回事！达比修有甩甩头，回过神来，将视线移向走上打击区的大卫弗里茨3，今天前八局被打的两记安打都是从他手中击出的！所以这一轮达比修有改变策略，投得稍微闪躲了点，不知不觉就满球数了。几个界外球后，双方都意识到，接下来这球将是决定胜负的关键了。话说一个球季下来，达比修早就很清楚守垒员的配球模式了，他今年使用快速球的比例占总投球数的6成，剩下部分使用滑球、
1 Darvish Yu，ダルビッシュ有， 1986年，目前效力于日本职棒火腿斗士，担任先发投手。父亲是伊朗人，母亲是日本人。他为了代表日本参加2008年北京奥运会，获父亲同意放弃原本的伊朗国籍，宣誓入日本国籍。2 安打指棒球比赛中击球手把投球手投出来的球击到界内，使自己能至少安全上到一垒的情形。不过有两种情形不计为安打：因为对手球员的守备失误才造成安全上垒；因为守垒员选择试图让跑垒员出局，才造成击球手安全上一垒，这种情形称作野手选择。3 David Freese，1983年，美国职业棒球联盟选手。
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8卡特球、曲球的比例为5∶3∶2。但是，当面对两好三坏的情况时，快速球、滑球、卡特球、曲球的比例将变为 6∶2∶1∶1。也就是说：现在这个情形，4种球快速球，滑球，卡特球，曲球的比例为：60%，20%，10%，10%。其中若是快速球，达比修有的各种球速94、95、96、97英里小时出现的概率相同。该不该保送他呢？达比的心里浮现了这个问句。他知道他的守垒员搭档是标准的美国英雄主义者，在这种关键时刻一定会选择正面对决，要自己把球送进好球带。但要是被打出安打，必定至少失2分，那么比赛结束时，他得站在球场正中央让全世界的人都目睹自己失败。如果此时投出坏球，虽然保送弗里茨会被挤回一分，但他有把握解决下一棒，将比赛带入延长赛，仍然保留胜算。在日本的训练，让他对完投12局也相当有自信。达比不介意被说闪躲，只要为了最后的胜利，他愿意忍耐。该不该违背守垒员的意志，保送算了呢？他喊了个暂停，缓缓踏下投手丘。这时，他注意到休息区给守垒员的手语指示：大卫弗里茨历年在满垒的情况下，面对投手投出快速球、滑球、卡特球、曲球的打击率1分别为3成50、2成50、2成 80、2成50，但打击出色的他却有一个小罩门：不擅打超过 96英里小时的快速球，面对如此快的快速球，其打击率将骤降至1成 50。一串数字像一把钥匙般，敲开了达比修有内心深处一段，他自己都快忘记了的回忆：三年前，在东京巨蛋洗手间里，他遇到的一位来自中国台湾的大学教授，那教授留着一头长发，讲了一堆他听不懂的数学，最后留下一句有一天你会用到的。1 打击率=安打打数。81 打击率=安打打数。8概率考题书.indd 8
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说完，对方就骑着滑板车扬长而去了。
想不到竟然是用在这种时候，那人叫做叶1他到底是教授还是预言家？达比心中嘀咕了一下，很快回想起叶教授告诉他的，如何根据球种以及给定球种的条件打击率，来分析击球手对自己的真正打击率。
大卫弗里茨的打击率分析给定球种的条件打击率球种出现概率条件打击率球种出现概率快速球96英里小时以上15% 30% 4.5%快速球96英里小时以下35% 30% 10.5%滑球25% 20% 5%卡特球28% 10% 2.8%曲球25% 10% 2.5%全部加总25.3%
只有差不多四分之一的概率！
达比修有心头一阵惊呼，同时下了决心。
有机会！
瞬间，他眼神转为前所未有的犀利，他决定相信守垒员搭档，完全照着他的意愿配球。到达极限的身体仿佛重新燃烧了起来。世界大赛总冠军赛第九局，两出局满垒满球数，守垒员比了下暗号，达比修有冲他点点头，豪迈地抬起腿，右手无限地向后伸展，将球投出。
1 显然是叶氏丙成咯。
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现在，很想见你
难 度：★使用技巧：概率乘法原理与加法原理原作者：蔡秉珈、叶佳宜、陈昭廷预先说明：本文用到的呼唤意识纯属假设，不是科学事实。
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我想，我已经活不了多久了吧。病床上的女性，面向窗外的细雨这样说着。别说这种话，澪，你一定在床旁守候的男性，着急要握住病床上那双苍白而无力的手，却被轻轻地拨开了。没关系，我知道的，对不起，巧，佑司就拜托你了。她微微地转过头。但是，明年雨季开始的时候，我一定会回来。虽然，澪的语气微弱，但巧却可以感觉到，她这句话充满了信心。巧应该不知道我在说什么吧，澪脸上闪过一丝浅浅的微笑，这一切只有她才知道，那是注定好的奇迹，即将在未来发生。
※澪过世后已经快一年了。我逐渐习惯和佑司两人的生活，上班工作，下班去接佑司。晚
上在餐桌上听他说着学校发生的点点滴滴。放假时，我会带他去玩，我们相依为命，过着忙碌而平淡的每一天。不，也许是故意让自己装得忙碌吧，如果闲下来的话，就会不小心想起些什么来。弥留之际，澪曾告诉我，明年雨季时她会回来，算一算，雨季从昨天开始，她，回来了吗？忽然晃动的衣角，打断了我的思绪。爸爸，你看那边？
我顺着佑司指着的方向看过去，在朦胧的雨景中，一个女子卧倒在不远处的树下，那是每天都出现在记忆里，再清晰不过的身影。
你真的回来了！
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不可置信的我口中低呼着，向她奔去。我扶起了倒在地上的人，
她微微睁开了双眼。你是谁？她虚弱地问道。
※时间跳跃这就是奇迹的真相。并不是死而复生，而是在还活着的时候来到死后的时间。并不是记忆丧失，而是在尚未有过去记忆时抵达了
未来。
在过去时间轴上的她，因出了车祸，使得意识到达了未来，在过去的人眼中，她只是一个昏迷不醒的人。路人们在车祸现场呼唤她，每声叫唤，都有16的可能传入到她的意识之中，累积三次后，她就会苏醒，意识将从未来被带回现在。那些没传入意识的呼喊，则有可能会停留在未来跟过去之间，阻绝了她从未来回到现在。12的概率让她在未来多逗留两天，13的概率，让她可以多待4天。
这是奇迹所授予她在未来多出来的时间。呼唤传入意识中所需要的次数，成为一个几何分布：
所以，平均需要呼唤6次，才能够将呼唤传达给她，也就是呼唤成功前，平均会有5次失败。再与意识擦肩而过的传唤的56概
率中，其中有
=35的概率多待2天，25的概率多待4天，平均来说，每次失败的呼唤，能使她多待145天。
也就是说，每次呼唤成功前，平均能使她在未来多待1455天，也就是14天。
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奇迹是公平的，仅仅提供了她一个来到未来的机会，没对她特别好，也没有对她特别坏。恰恰好，给了她跟期望值一样的结果。最终，在3次呼唤传入她意识之前，她在未来一共待了6个礼拜，正是雨季的长度。
※同时，雨季结束时，我就会回去。我这么说着。当初刚从未来回来时，一度以为那只是个单纯的梦境，但我一
直放不下在梦境中爱着我的你，哭着说失去我的一年有多难受的你。之后，我们重逢，但那时的你浑然不知情。说来也是，在时间轴上，这才是第一次见面。当你跟我告白时，我明白了这一切的意义。
对死亡这件事，我也感到恐惧，如果和你相恋，一切
就如同未来的你所说，我的生命将会注定在28岁结束。我曾想过就这样拒绝你。但是，在那6个礼拜之间，我明白了什么是幸福。对
你来说是未来才发生的事，但对我来说，那才是我们的第一次邂逅。短短6周，我深刻地感受到你们是如何地爱着我，如何忘不了离开的我。现在的我，也只是试着把同样深的爱，回报到你们身上。
如果我逃走了，这一切甚至是佑司，都将不复存在。因此，我答应了你的请求，答应我们再在一起。之后进展顺利
到让你吃惊，对吧？对不起，因为我早就都知道了。然后依然和我预先知道的一样，我得离开了。不过我很高兴，将来的你还有6个礼拜的时间可以拥有我。我
希望那样能够弥补太早离开的我所来不及给佑司的母爱。在那之后，请继续努力，幸福地生活下去吧。改编自市川拓司《现在，很想见你》1
1 市川拓司的纯爱小说，有同名电影。
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14近似完美句子难 度：★★使用技巧：读者必须具备基本的排列组合能力，以及条件概率的概念。原作者：施恩铭、何升达、吕其暐2017-05-08 09：39：09近似完美句子难 度：★★使用技巧：读者必须具备基本的排列组合能力，以及条件概率的概念。原作者：施恩铭、何升达、吕其暐2017-05-08 09：39：09概率考题书.indd 14
Aoccdrnig to a rscheearch at CmabrigdeUinervtisy, it deosntmttaer in whatoredr the ltteers in a wrod are, the olnyiprmoetnttihng is taht the frist and lsatltteer be at the rghitpclae. The rset can be a totalmses and you can stillraed it wouthitporbelm. Tihs is bcuseae the humanminddeosnotraederveylteter by istlef,
研表究明，汉顺字序并不定一影阅响读。
but the wrod as a wlohe. Amzanig huh?
根据剑桥大学的研究显示，单字里的字母顺序并不重要，前缀跟字尾的字母被摆在正确位置才是关键所在。其他字母的位置就算一团混乱，你依然可以流畅地阅读。这是因为人类的心理在阅读时不会细读每个字母，而是将一个单字视为整体，惊讶吧？叶叶捧着手中的iPad，优雅地朗诵着。
是的，正如你们所见。
叶叶拨开帅气的刘海儿，看着远方。我是台大电机系二年级的学生，一位奋发向上的好青年。正值青春年华的我，拥有美好的未来，新鲜的肝。紧闭双眼，
紧握双拳，站在操场司令台上的叶叶，情绪激昂。秉持理想，除了认真念书，我积极参与各种活动：电机音乐会、社团成果发表、15电机之夜、烤鸡大赛、躲猫猫社，生活好不精彩。拥有正直个性的我，深受师长以及同学们的
尊敬啊！台下仿佛传来阵阵鼓噪声。哎呀，大家太过捧场了，我没有那么好啦叶叶说着，搔搔头，表情有些害羞。
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睁开双眼，操场上空荡荡的，当然咯，这是星期天半夜，连校犬都去睡觉了。这时，天空飘起了细雨。哈哈哈哈哈，连天空都为我精彩的演说流下了眼泪，哈哈！
叶叶张开双臂，沉浸在对自己的敬佩之中。上大学后，他一直希望能成为风云人物，奈何学校卧虎藏龙，他查过资料，发现自己唯一的特色，就是身高、体重、成绩皆是全校学生平均值的超平均学生。
平均的意思就是不起眼。不起眼的他只能趁着深夜，自己跑到司令台上，演这出主角兼观众的独角戏，自我安慰。光阴荏苒、时光飞逝。又到了演讲结束的时候，我知道大家都很依依不舍叶叶说着，眼眶泛泪。但这就好像一个学期，再怎样地充实精彩，总是会走到学期末的。等等学期末！
叶叶想起，不如写封感谢信，对老师们的辛劳表示敬意。这么一来，他们应该就会对自己留下印象，说不定下次上课时会在全班同学面前提到他，同学由此注意到他的优秀，下课后主动来与他攀谈，璀璨的大学生活从此展开，哇咔咔！
但是，陈腔滥调的感谢信，无法充分表现我的诚意啊
回到宿舍，叶叶打开了网页，想找找看有没有适合的样式。
可恶，这个不行这个也不行
搜寻许久仍找不到有趣的点子，当今时代就是如此，不缺信息，只缺有用的信息。网络上的各种模板都不适合，没什么太大的帮助。
凄凄惨惨戚戚冷冷清清，吾已山穷水尽。就这么一路找到半夜，依旧徒劳无功。正当叶叶打算放弃时，他猛然想起晚上在
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17司令台上念的那份稿子。逼近绝望边缘的叶叶灵机一动，打开E-mail，写下：I love probability and stochastic processes.接着，叶叶将句子中各个单字内的字母，依照那篇文章里的规则，随意调换，昂扬得意地将信、文章以及几句感谢的话寄给概率与统计课老师。总算，总算出来了，写出来了！叶叶深吸一口气，缓和紧张情绪。赖床了一个早上，第二天晚上，叶叶收到老师的回信。信中，老师写着：超乎我的意料呢，叶叶，调换单字内字母的文章太有趣了，实在不像一个二年级学生会想到的点子。身为老师，当然要全力以赴回应你的感谢信。于是老师想出了一则相关的概率题目，刚好就让你试试吧。我们将符合文章所述之规则前缀跟字尾的字母被摆在正确位置，其他字母打乱的句子称为近似完美句子。接下来，看看你打的句子中，各单字内的字母随机打乱单字间不互相影响。那么在一个单字内，相同字母相邻的情况下，这个句子是近似完美句子的概率为多少？如果能明天在太阳出来前解出来的话，这学期就给你A 咯。不想轻易给你A 的教授留^____见下图。
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48Face on FIRE难 度：★★使用技巧：读者须了解条件概率所要表达的意义以及知道其在计算上如何操作。原作者：刘人硕、辜禹仁、吴昱辉Face on FIRE难 度：★★使用技巧：读者须了解条件概率所要表达的意义以及知道其在计算上如何操作。原作者：刘人硕、辜禹仁、吴昱辉概率考题书.indd 48
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键盘柯南和苗栗小五郎一家到台大人人会馆参加婚礼，新郎是小五郎的亲戚，恰好也是一位黑道老大，
但是，死神柯南的名号不是随便叫叫的。婚礼开始不久，远方传来一阵男性的呻吟声，紧接着，女性的尖叫声划破了会场
柯南一行人赶到案发现场，发现新郎在客房里被烧死，脸部焦黑，焦黑部分由脸的下半缘渐连到眉梢。诸位看官看过这么多集漫画和卡通，想想就知道了，根据柯南专业的判断，这不会是单纯的自杀事件，而是一场精心策划的谋杀案。经过详细的调查，他得到以下的命案线索：
案发时，有位女服务生在房外打扫，听到了以下的对话：老大：因为做贼的喊捉贼啊！不明人声：别气了，大哥，我帮你点烟。点火声不明人声：应该是这个位子吧。老大：我再给你一次机会！点火声老大：你，你干嘛烧我！！惨叫连连房间陷入寂静这情况对其他人来说，或许难以理解，但柯南想都没想，嘀咕
了一句：这不是很简单吗？
他立刻对苗栗小五郎射出麻醉药，还原现场。沉睡的苗栗小五郎指挥目暮警官饰演拿烟的老大，小兰姊姊饰演凶手。还原现场的情况：
柯南将客房划分成为20个区块与ABCD四区，他说老大的脸、手，以及火焰的位置，只有这几种可能。
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50他又依现场情况作了以下假设：1凶手是冲动的，只会一次点4把火，火必定会烧到相邻的4个格子ex.1~4，2~5，3~6，，17~20，因此共有17种点火位置；2因为案发时房内没有光线，凶手的点火位置是随机的，各位置均等；3老大占了5个格子身体4格，手 烟1格，只会固定出现在A、B、C、D这4个区块之一；4老大在各个区间出现的概率并不相等，A：0.4，B：0.3，C：0.2，D：0.1；5老大很脆弱又很油，只要有一点火苗烧到脸，老大就会被烧死；6由于习惯，老大用不同手点烟的概率不一样，左右手拿烟的概率各自是0.8与0.2。以下为烟被点燃，老大被烧死的范例有任何一根出现在老大脸下方：以下为烟被点燃，老大没被烧死的范例：以下为烟没被点燃，老大被烧死的范例：概率考题书.indd 50 2017-05-08 09：39：24他又依现场情况作了以下假设：1凶手是冲动的，只会一次点4把火，火必定会烧到相邻的4个格子ex.1~4，2~5，3~6，，17~20，因此共有17种点火位置；2因为案发时房内没有光线，凶手的点火位置是随机的，各位置均等；3老大占了5个格子身体4格，手 烟1格，只会固定出现在A、B、C、D这4个区块之一；4老大在各个区间出现的概率并不相等，A：0.4，B：0.3，C：0.2，D：0.1；5老大很脆弱又很油，只要有一点火苗烧到脸，老大就会被烧死；6由于习惯，老大用不同手点烟的概率不一样，左右手拿烟的概率各自是0.8与0.2。以下为烟被点燃，老大被烧死的范例有任何一根出现在老大脸下方：以下为烟被点燃，老大没被烧死的范例：以下为烟没被点燃，老大被烧死的范例：概率考题书.indd 50 2017-05-08 09：39：2451以下为烟没被点燃，老大没被烧死的范例：小蓝跟目暮紧关走进房间，一会儿，一丝烟味飘出，女服务生拿着电话，犹豫着不知道该打给医师求救，还是干脆找牧师来处理后事。这时，柯南利用变声器模仿苗栗小五郎的声音说着：在案件发生之后，柯南跟我说过，他以前学过概率，可以用来计算未知事情发生的可能性。在你查看目暮警官的伤势之前，应该先试着去推估他被烧死的概率，就可以作出正确的判断了。若目暮警官被烧死的条件概率低于五成，则需找医师治疗；若高于或等于五成，那么，就打给牧师来处理后事吧。在场的人被这番话引起注意力，完全不管目暮警官的死活，仔细听他继续说。首先，因为已知道烟被点燃了，我们所求的是条件概率：如果说这样子的概率超过五成的话，就替他默哀；反之，就只要稍微包扎一下伤口就好了。柯南缓缓地说道。依照之前的假设，计算目暮警官出现在某格的概率左手或右手拿烟的概率凶手在特定位置点烟的概率去推算概率。举例来说，当目暮警官的脸在A区时，概率为0.4，右手拿烟的概率考题书.indd 51 2017-05-08 09：39：25以下为烟没被点燃，老大没被烧死的范例：小蓝跟目暮紧关走进房间，一会儿，一丝烟味飘出，女服务生拿着电话，犹豫着不知道该打给医师求救，还是干脆找牧师来处理后事。这时，柯南利用变声器模仿苗栗小五郎的声音说着：在案件发生之后，柯南跟我说过，他以前学过概率，可以用来计算未知事情发生的可能性。在你查看目暮警官的伤势之前，应该先试着去推估他被烧死的概率，就可以作出正确的判断了。若目暮警官被烧死的条件概率低于五成，则需找医师治疗；若高于或等于五成，那么，就打给牧师来处理后事吧。在场的人被这番话引起注意力，完全不管目暮警官的死活，仔细听他继续说。首先，因为已知道烟被点燃了，我们所求的是条件概率：如果说这样子的概率超过五成的话，就替他默哀；反之，就只要稍微包扎一下伤口就好了。柯南缓缓地说道。依照之前的假设，计算目暮警官出现在某格的概率左手或右手拿烟的概率凶手在特定位置点烟的概率去推算概率。举例来说，当目暮警官的脸在A区时，概率为0.4，右手拿烟的概率考题书.indd 51 2017-05-08 09：39：25概率是0.2，这时，能够点到烟的就只有最下方的第1区，因此烟被
点燃的概率是
。
如果目暮警官的脸在A区，且左手拿烟，那么烟可以被点燃
的区域，从2~5、3~6、4~7和5~8都有可能，此时烟被点燃是，至于要将目暮警官烧死，5~8这个区域的火点燃后是不会烧到脸的，此时烟被点燃且目暮警官被烧死的概率是
。欸欸，你这样子，要算到什么时候啊？等你算完，我们都被烟味呛死了吧！一旁的白鸟警官抱怨着。你们不用担心这一点，我已经叫柯南先把整个概率计算好了。柯南！柯南伪装成苗栗小五郎呼叫自己。有！柯南从椅子背后跳了出来我把各个部分的概率写好了：
嗯，反正大概也来不及了，等会儿再打电话给牧师，先让目暮警官安息一下吧！柯南赶紧跑回椅子后面，用苗栗小五郎的声音激昂地说着，获得全场鼓掌叫好，一片欢呼。
等等，我只是手被烧伤了，既然你们都不救我，我只好自己先包扎了。
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突然间，目暮警官从后方窜出，脸上还包着绷带。目暮警官！你不是应该被烧死了吗？你被烧死的概率将近八成耶！白鸟警官惊讶地问着。笨蛋，被烧死的概率高达八成，不代表一定会被烧死啊！
目暮警官敲了白鸟警官的头一下，接着说：话说，苗栗老弟，你这样子叫我还原现场，还因此让我脸部被烧伤，究竟要做什么？
哼哼，真相，永远只有一个。柯南冷笑地说着。凶手就是你！新娘小姐！柯南用激动的声音说着，全场一片哗然。我，我怎么可能杀掉自己的老公？！让我告诉你吧！事实上，我刚刚吩咐小兰，一定要烧到目暮警官的脸。柯南说着，让目暮警官整个不敢置信。苗栗老弟，你要杀柯南不理会目暮警官，接着继续推理。纵然故意烧到目暮警官的脸，但是他仍然只受到轻微烧伤，这是因为他没有胡子！这跟我为什么杀了他一点关系都没有啊！新娘生气地说着。
根据我苗栗小五郎对新郎的认识，他不喜欢留胡子。但是你却以喜欢长胡子的男人为由，逼他留长胡子。所以今天，你才能叫小弟帮他点烟，把胡子点燃，将他烧死。
新娘的表情越来越惊恐。你、你这样子说，你有什么证据！新郎很爱赌博，他的口头禅就是我十次赌博有八次会赢，
但是他最近运气很差，输了，连婚礼都缩水了。他有跟我说过，你一直很生他的气，不停讽刺他不是十次有八次会赢吗？不如我们
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赌一把，看看是谁十次有八次会赢，而且，你还替他保了巨额的意外险。所以当我算出老大被烧死的概率将近八成时，我就想到，这是你精心设计出的一场你跟他的赌局。
都怪他这一刻，低头的新娘流下了眼泪。就叫他不要再去赌博了，都讲不听拿了这么多钱又有什么用，我内心一点都不希望我赌赢这场赌局啊！！新娘说到最后泣不成声。早已看惯这些场景的目暮警官，将她铐上手铐，移送法办。爸，你这次又立下大功了！事件结束后，小兰称赞着苗栗小五郎。啊有吗小五郎虽然有点不解，但仍沾沾自喜。
不过，胡子被点燃以后会烧到整张脸，好像有点神奇耶！小兰说着。
哎呀，是要那种很长的山羊胡才会烧死人的，像我这种小胡子小五郎笑着说道，把打火机拿起，对着自己的小胡子点了火
几十秒后，小兰赶紧跟女服务生要了医师的电话，将小五郎紧急送医。
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