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| 編輯推薦： |
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囊括了已经举办的八届竞赛的预赛和决赛试题及答案，以便于读者了解竞赛命题的难易程度和命题走向。汇集整理了各类竞赛题目，为读者扩展了视野、提高了处理难题的技能和技巧。
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| 內容簡介： |
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本书结合作者数十年的阅卷经验，归纳、分析了在十多年全国硕士研究生入学统一考试数学试题的解答过程中，考生所出现的典型错误，以帮助备考的考生有意识地发现自己在对知识点的理解和考点的表现方式方面所存在的缺陷.此书是针对理工类非数学专业的考生（选择数学一试卷）而编写的，共安排三个部分： 高等数学、线性代数、概率论与数理统计.为了便于考生与自己的解答相对照并且能够达到知其所以然的目的，对于所选择的真题，在给出题目后，首先进行考点分析，然后给出详细解答，再通过方法点击加以提炼，*后列出典型错误并给出出错的原因分析.
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| 目錄：
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第一部分高等数学一、 函数极限连续3
二、 一元函数微分学18
三、 一元函数积分学35
四、 向量代数和空间解析几何54
五、 多元函数微分学58
六、 多元函数积分学79
七、 无穷级数112
八、 常微分方程130
第二部分线性代数
一、 行列式145
二、 矩阵152
三、 向量161
四、 线性方程组169
五、 矩阵的特征值和特征向量187
六、 二次型200
第三部分概率论与数理统计
一、 随机事件和概率213
二、 随机变量及其分布217
三、 利用分布求概率及数字特征237
四、 统计量及抽样分布253
五、 统计推断259
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| 內容試閱：
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FOREWORD为了帮助广大考生能够在较短的时间内，准确理解和熟练把握考研数学的命题方式和解题规律，全面提高解题能力和应考能力，在最短的时间内轻松夺取考研数学高分，我们严格依据教育部制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》，邀请到众多有着丰富命题、阅卷和辅导经验的一线名师精心编写了这本《考研数学试题典型错误辨析》.历年的考研真题完全反映了考研命题的指导思想、基本原则和出题趋势，是教育部考试中心一届又一届命题组老师们精挑细选出极具典型性和代表性的题目.历年来，研究生入学考试数学各学科知识点没有太大的变化，而且各学科考查的重点、难点比较稳定，在以往考试中会反复考查.通过反复研究真题，考生可以从中发现规律，归纳出考查的重点、难点及常考题型，准确把脉定位自己的薄弱环节，进一步明确复习方向.而辨析以往试卷中的典型错误，能够最有效地暴露自己的不足和复习时的误区，提供更有效的复习思路和策略.本书包含十几年的考研真题，答案解析扼要翔实，方法指导高屋建瓴，考点总结提纲挈领，典型错误辨析全面，能极大地提高考生的解题技巧和思维方式，全面提升考生的数学素养和能力.本书主要特点是： 1. 全面归纳总结： 既有对考点分布的汇总和常考知识点的归纳，也有对重要题型的解题思路、解题方法和答题技巧的深层次总结.据此考生不仅可以从全局上对考试要点有整体性的把握，更可以纲举目张，系统地把握数学知识的内在逻辑性.2. 互动能力提升： 每套试卷的每个题目，从知识点到思路再到方法都给出了翔实的点拨，部分难题、大题给出了多种解法，真正把每一个题目研究透.通过对本书真题的研习，考生可以切实掌握考研数学的重点、难点以及深度，真正吃透题目解法，达到考试时胸有成竹的境界.3. 深入剖析错误： 根据编者多年的研究生入学考试数学阅卷经验，本书将各种典型错误解法放在相应的题目解答后面，培养思考错题、分析错题、善待错题的态度和习惯.这样考生可避免再犯同类的错误，杜绝失分现象，有效减少失分.4. 栏目实用生动： 每道题目分为【考点分析】【解】【方法点击】【典型错误】几个特色板块：【考点分析】从命题人的角度给出了想要考查的知识点，让考生掌握考研〖1〗 前言数学应该复习的重点内容.从解题思路层面解析每一个题目，使考生不仅会做题目，而且会分析题目并会做同样类型的题目；【解】全面翔实的解题过程；【方法点击】就试题解答中所采用的方法进行总结，从解题的角度串起不同的知识点，使考生在潜移默化中培养数学思维模式.【典型错误】 研习错误解法也是一种重要的学习方法.编者根据多年的考研阅卷工作的经验，总结了考试时往年考生常见的错误，研习他人和自己可能犯的错误，就能进一步明辨是非，不再重蹈覆辙.阅读本书时，应先自己动手做题，再将自己的结果与本书中的解法相比较.考生从平时就要加强对自己计算能力的训练，同时尽量按步骤把每一个题目的解答过程写下来，一来避免出错，二来养成卷面整洁的习惯.另外我们建议考生把本书的全部试题做2~3遍，通过反复练习，把不明白的地方真正弄明白，达到看到类似的题目就能想到解题思路的地步，才可以在最后的考试中做到胸有成竹.本书由张天德、叶宏、吕洪波、张焕玲编著.衷心希望我们的这本《考研数学试题典型错误辨析》能对您有所裨益.祝愿所有备考硕士研究生入学考试的学子们获取高分，心想事成！
2017年4月
三、一元函数积分学〖*45〗（一） 内容概括积分学是微积分的主要部分，在高等数学中占有十分重要的地位，而一元函数积分学是积分学的基础.从某种意义上讲不定积分处于辅助位置，不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具.利用定积分可以解决许多实际问题.（二） 考试要求一元函数积分学是考研数学复习的重点及难点之一.最新颁布的全国硕士研究生入学考试大纲（数学一）中对一元函数积分学的要求是：1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式.5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分.6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等及函数的平均值.三 真题解析例12017年求limnnk=1kn2ln1 kn.【考点分析】本题考查和式极限的求法.首先将已知和式转化为函数fx=xln1 x在区间［0，1］上的积分和；再根据定积分定义将所求和式极限用定积分表示，最后计算定积分便可得所求极限值.解limnnk=1kn2ln1 kn＝limnnk=1knln1 kn1n=10xln1 xdx=12x2ln1 x|10-1210x21 xdx=12ln2-1210x-1 11 xdx=12ln2-14x-12|10-12ln1 x|10=14.【方法点击】1 利用定积分定义计算和式的极限是常考题型.解答这类题目的关键〖1〗 第一部分高等数学 三、 一元函数积分学〖3〗是将已知和式转化为某个函数在具体区间上的积分和，即用定积分表示和式的极限；其中关键是确定被积表达式及定积分的上、下限，这时一般是将积分区间n等分.2 求和式的极限一般采用两种方法： 一是利用定积分的定义；二是利用夹逼准则.【典型错误】本题的主要出错点是： 考生不能正确地用定积分表示已知和式的极限；其原因是没有真正理解定积分的定义.例22017年甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10单位： m处.在图18中，实线表示甲的速度曲线v=v1t单位： ms，虚线表示乙的速度曲线v=v2t，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3.计时开始后乙追上甲的时刻记为t0单位： s，则.
A t0=10B 1525图18【考点分析】本题考查定积分的物理意义变速直线运动的路程.根据路程与速度之间的关系，由速度求出路程；当乙追上甲时，乙应比甲多跑10m，由此便可得结论.解设S1t,S2t分别表示甲、乙两人在相同时间t内跑过的距离，则S1t=t0v1tdt，S2t=t0v2tdt.由题意知： S2t0=10 S1t0,即S1t0-S2t0=-10.*故乙追上甲的时刻t0必须满足*式.当t=10时S110-S210=100［v1t-v2t］dt=10.当1510-2510［v2t-v1t］dt=10-20=-10.故当t=25时，有S125-S225＝250［v1t-v2t］dt=100［v1t-v2t］dt 2510［v1t-v2t］dt=10-2510［v2t-v1t］dt=10-20=-10.综上分析知： 当t0=25s时满足*式.故应选C.【方法点击】前几年的考题主要考的是定积分的几何应用，而本题考查的是定积分的物理应用；另外，题型较新颖，但难度不大.考生可依据本题发散思维，举一反三，将这种出题方式拓展到其他知识点.【典型错误】有的考生没有理解原函数的概念，不会用定积分表示速度与路程之间的关系.例32016年已知函数fx=2x-1,xI2.② 再比较I2与I3的大小.由于I3-I2=32ex2sinxdx0因为x2,3时，sinx0,所以I3I2.③ 最后比较I1与I3的大小.由于I3-I1＝3ex2sinxdx＝2ex2sinxdx 32ex2sinxdx＝2ex2sinxdx 2eu 2sinu du＝2［ex2-ex 2］sinxdx0,所以I3I1；故应选D.解法二I1=0ex2sinxdx;I2=20ex2sinxdx=0ex2sinxdx 2ex2sinxdx=I1 2ex2sinxdx,因为x，2时，sinx0,所以ex2sinx0.又因为［ex2-ex 2］sinx连续，所以有2［ex2-ex 2］sinxdx0,故I11B a1且b1C a1D a1且a b1【考点分析】本题考查反常积分的敛散性，利用排除法和反常积分收敛的定义即可得结论.解取a=0,若 0dx1 xb=11-b1 x1-b 0=11-blimx 11 xb-1-1收敛，只需b1即可.说明a1，原反常积分发散，排除A.故应选择C.【方法点击】本题是既包含瑕点x=0又区间无限的反常积分，常规做法是将积分拆为两个反常积分，使得一个只是瑕积分，另一个只是无穷区间的积分.但本题又是选择题，可采用选择题的特殊解法排除法.无穷区间广义积分的定义和计算：① afxdx=limt tafxdx=limt Ft-FaFx=fx;② b-fxdx=limt-btfxdx=Fb-limt-FtFx=fx;③ -fxdx=a-fxdx afxdx=limt-atfxdx limt tafxdx=Fa-limt-Ft limt Ft-Fa.当上述limt-Ft，limt Ft都存在时，称上述积分收敛.否则发散.【典型错误】有的考生不是采用排除法解答本题，而是直接计算广义积分，由于计算较繁导致结论不正确.例122010年设m，n均是正整数，则反常积分10mln21-xnxdx的收敛性.A 仅与m的取值有关B 仅与n的取值有关C 与m,n的取值都有关D 与m,n的取值都无关【考点分析】本题考查被积函数有瑕点的反常积分的敛散性判定.首先找出瑕点，然后将积分区间分段，再分别讨论.解显然广义积分10mln21-xnxdx有两个瑕点x=0与x=1，则10mln21-xnxdx＝120mln21-xnxdx 112mln21-xnxdx.对于120mln21-xnxdx，瑕点为x=0.设n1，limx0 ［ln21-x］1mx1nx1n＝0，由于02，limx0 ［ln21-x］1mxx1-2m存在，又00或 ，则bafxdx发散.【典型错误】有的考生只注意到x=0为瑕点，而未看出x=1也是瑕点.例132013年计算10fxxdx,其中fx=x1lnt 1tdt.【考点分析】本题考查无界函数反常积分的计算.解fx=x1lnt 1tdt,则fx=lnx 1x,f1=0,于是10fxxdx=210fxdx=2［fxx］10-210xfxdx=2f1-210lnx 1xxdx=-210lnx 1xdx=-410lnx 1dx=-4lnx 1x10-10x1 xdx=-4ln2 410x1 xdx.又10x1 xdxx=tx=t2dx=2tdt10t1 t22tdt=210t21 t2dt=210dt-21011 t2dt＝2t-arctant10=21-4＝2-2，所以10fxxdx=-4ln2 42-2＝8-2-4ln2.【方法点击】无界函数反常积分和无穷区间上的反常积分均为考研数学中的高频考点.2013年的第12小题和本题分别考查了这两种反常积分，这足以引起我们对这一知识点的高度重视.【典型错误】有的考生思路不正确，即想求出fx的具体表达式后再计算积分： 10fxxdx；由于本题中求不出fx的初等函数表达式，因此没有得到积分10fxxdx的结果.例142010年设x=e-t,y=t0ln1 u2du,求d2ydx2t=0=.【考点分析】本题考查变上限定积分求导；由参数方程所确定的函数的高阶导数.解由题设条件得xt=-e-t,yt=ln1 t2，则dydx=ytxt=-ln1 t2et,d2ydx2=dydtdydx1xt=-etln1 t2-et2t1 t2-et=e2tln1 t2 2te2t1 t2=e2tln1 t2 2t1 t2.从而d2ydx2t=0=0,故应填0.【方法点击】考生应掌握用变上限定积分定义的函数的求导公式；应特别注意参数方程所确定的函数的二阶导数的求法.【典型错误】本题的典型错误是： 由dydx求d2ydx2时漏掉了因子1xt,即由dydx＝-ln1 t2et，只对t求导数得d2ydx2=-etln1 t2-et2t1 t2且d2ydx2t=0=0，在本题中虽然由错误的二阶导数d2ydx2的表达式也可得到正确答案0，但这只是巧合.出现这种错误的原因是由dydx求d2ydx2时t是中间变量，x才是自变量，应该用复合函数求导法即d2ydx2=ddtdydxdtdx.又因为x=xt与t=tx互为反函数，所以由反函数求导法则得dtdx＝1dxdt=1xt,故d2ydx2=ddtdydx1xt.例152008年设函数fx=x20ln2 tdt，则fx的零点个数为.A 0B 1C 2D 3【考点分析】本题考查变上限定积分定义的函数的求导问题及函数零点的概念.解由fx=x20ln2 tdt，得fx=2xln2 x2.令fx=2xln2 x2＝0，知x=0为fx的零点.故应选B.【方法点击】以下是变上限积分求导的推论：
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