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| 編輯推薦： |
该教材是全国高等学校大学数学教学研究与发展中心、山西省教育厅教改课题大学生数学建模竞赛应用能力培养的研究与实践和山西省教育科学十三五规划课题基于应用能力培养的本科院校高等数学教学改革研究的主要研究成果之一;经济数学教材的第1版和第2版,在2010年和2012年山西省普通高等学校教学成果奖评选中两次荣获二等奖．
与其他经济数学教材相比,本书还有如下特点．
１本书在大学数学的体系、内容、方法上进行了改革．将数学和经济紧密结合在一起,这是以往经济数学教材很少做过的．为此课程组查阅了大量和经济有关的数学教材,仔细研究了宏观、微观经济学和其他经济类专业课程的教材,从中找出和微积分密切相关并且具有典型特色的经济模型和案例．
２本书将数学建模思想、方法贯穿于整个课程体系之中．我们在很多章节给出了与教材章节内容有关的数学建模案例,又在附录中对数学建模进行了专门的介绍．通过这种方式,既可以提高读者在学习过程中的兴趣,又可以达到理论联系实际的目的,对培养读者的创新意识很有帮助．
３本书注重培养学生应用所学的数学知识解决数学问题的能力,特别是将数学软件MATLAB结合具体教学内容进行讲授,包括基本使
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| 內容簡介： |
本书是根据高等学校经济类专业微积分课程的教学大纲组织编写的．本书采用全新的编排方式,注重突出数学课程的循序渐进、由浅入深的特点,具有理论联系实际、课程紧密结合专业的特色．全书以注重概念、强化应用、培养技能为重点,充分体现了以应用为目的,以实用为标准的原则．
本书的主要内容有一元函数微积分学、微分方程、多元函数微积分学、无穷级数．为了更好地适应现代经济数学教学的要求,本书详细介绍了需求、供给、边际和弹性等常见的经济模型,简要介绍了基尼系数、投资和消费者剩余等重要的经济模型,在第二、七、九和十一章后配有相应的经济知识拓展,附录B和附录C分别介绍了数学建模和数学软件MATLAB的内容．本书的各章节还精心配置了例题和习题,便于学生对有关知识的掌握与应用;书末附有部分习题答案．带号内容供学时较多的专业选用．
本书可作为普通高等学校、成人高校及本科院校举办的二级学院和民办高校的教材．
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| 目錄：
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目录
第一章 函数 ..........................１
第一节 集合 ......................１
一、集合的概念 ................１
二、集合的运算 ................２
三、绝对值 ....................３
四、区间和邻域 ................４
习题１-１ ......................５
第二节 函数的概念、性质和例题 ....６
一、函数的概念 ................６
二、函数的性质 ................９
三、建立函数关系的例题 ........１２
习题１-２ ......................１３
第三节 反函数、复合函数和初等函数 ..................１４
一、反函数 ....................１４
二、基本初等函数 ..............１５
三、复合函数 ..................２０
四、初等函数 ..................２１
习题１-３ ......................２１
第四节 经济学中的几种常用函数 ....２２
一、需求函数与供给函数 ........２２
二、成本函数、收益函数与利润函数 ......................２４
三、其他经济函数 ..............２６
习题１-４ ......................２７
阅读资料 ..........................２８
本章小结 ..........................２９
第二章 极限与连续 ..................３１
第一节 极限 ......................３１
一、数列极限 ..................３１
二、函数极限 ..................３５
习题２-１ ......................４０
第二节 极限的运算 ................４１
习题２-２ ......................４５
第三节 极限存在准则和两个重要极限 ..................４５
一、极限存在准则 ..............４５
二、两个重要极限 ..............４６
习题２-３ ......................５１
第四节 无穷小量与无穷大量 ........５２
一、无穷小量 ..................５２
二、无穷大量 ..................５３
三、无穷小量的比较 ............５５
习题２-４ ......................５８
第五节 连续 ......................５９
一、函数连续的概念 ............５９
二、函数的间断点 ..............６１
三、连续函数的性质与初等函数的连续性 ..................６３
四、闭区间上连续函数的性质 ....６５
习题２-５ ......................６８
知识拓展 复利、贴现模型 极限 ....６９
阅读资料 ..........................７３
本章小结 ..........................７４
第三章 导数与微分 ..................７６
第一节 导数概念 ..............７６
一、导数定义 ..................７６
二、几个基本初等函数的导数公式 ......................８０
三、可导与连续的关系 ..........８３
习题３-１ ......................８４
第二节 导数的运算法则 ............８５
一、函数的和、差、积、商的求导法则 ..................８５
二、反函数求导法则 ............８８
三、复合函数求导法则 ..........９０
四、初等函数的求导问题 ........９２
习题３-２ ..................９３
第三节 高阶导数、隐函数及由参数
方程所确定的函数的导数 ..........９５
一、高阶导数 ..................９５
二、隐函数的导数 ..............９８
三、由参数方程所确定的函数的导数 ............１００
习题３-３ ................１０２
第四节 微分 ....................１０３
一、微分的定义及几何意义 ....１０３
二、微分的运算法则 ..........１０５
三、微分在近似计算中的应用 ..１０８
习题３-４ ....................１１１
阅读资料 ........................１１２
本章小结 ........................１１４
第四章 导数的应用 ..................１１５
第一节 微分中值定理 ............１１５
一、罗尔定理 ................１１５
二、拉格朗日中值定理 ........１１６
三、柯西中值定理 ..........１１９
习题４-１ ....................１１９
第二节 洛必达法则 ..............１１９
习题４-２ ....................１２４
第三节 函数的单调性与极值 ......１２４
一、函数单调性的判别法 ......１２４
二、函数极值的判别法 ........１２７
三、最大值和最小值的求法 ....１３１
习题４-３ ....................１３４
第四节 函数图形的描绘 ..........１３５
一、曲线的凹凸性与拐点 ......１３５
二、函数图形的描绘 ..........１３８
习题４-４ ....................１４３
第五节 导数在经济分析中的应用 ..１４４
一、边际与边际分析 ..........１４４
二、弹性与弹性分析 ..........１４７
习题４-５ ....................１５２
阅读资料 ........................１５６
本章小结 ........................１５７
第五章 不定积分 ....................１５９
第一节 不定积分概述 ............１５９
一、原函数与不定积分的概念 ..１５９
二、不定积分的几何意义 ......１６０
三、基本积分表 ..............１６１
四、不定积分的性质 ..........１６２
习题５-１ ....................１６４
第二节 换元积分法 ..............１６５
一、第一类换元积分法 凑微分法 ..............１６５
二、第二类换元积分法 ........１７０
习题５-２ ....................１７４
第三节 分部积分法 ..............１７６
习题５-３ ....................１７８
.第四节 有理函数的积分 ..........１７８
一、有理真分式化为部分分式之和 ....................１７９
二、有理真分式的积分 ........１８０
习题５-４ ....................１８１
第五节 积分表的使用方法 ........１８１
习题５-５ ....................１８２
阅读资料 ........................１８３
本章小结 ........................１８４
第六章 定积分 ......................１８６
第一节 定积分的概念和性质 ......１８６
一、定积分的概念 ............１８６
二、定积分的性质 ............１９１
习题６-１ ....................１９４
第二节 微积分基本定理 ..........１９５
一、变上限函数及其导数 ......１９５
二、牛顿－莱布尼茨公式 ......１９６
习题６-２ ....................１９９
第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 ..............２００
一、定积分的换元积分法 ......２００
二、定积分的分部积分法 ......２０４
习题６-３ ....................２０６
第四节 广义积分 ................２０７
一、无穷区间上的广义积分 ....２０７
二、无界函数的广义积分 ......２１０
习题６-４ ....................２１２
第五节 定积分的近似计算 ........２１２
一、矩形法 ..................２１２
二、梯形法 ..................２１３
三、抛物线法 ................２１４
习题６-５ ....................２１６
阅读资料 ........................２１６
本章小结 ........................２１７
第七章 定积分的应用 ................２１９
第一节 定积分的元素法 ..........２１９
第二节 定积分在几何上的应用 ....２２１
一、平面图形的面积 ..........２２１
二、旋转体的体积 ............２２６
习题７-２ ....................２２８
第三节 定积分在经济上的应用 ....２３０
一、已知边际函数求总量的问题 ..................２３０
二、投资问题 ................２３１
三、国民收入分配问题 ........２３３
四、消费者剩余和生产者剩余问题 ....................２３４
习题７-３ ....................２３５
知识拓展 红绿灯管理模型 积分 ..２３６
阅读资料 ........................２３８
本章小结 ........................２４０
第八章 微分方程 ....................２４１
第一节 微分方程的概念 ..........２４１
一、引例 ....................２４１
二、微分方程的基本概念 ......２４２
习题８-１ ....................２４５
第二节 一阶微分方程 ............２４５
一、可分离变量的微分方程 ....２４６
二、齐次方程 ................２４７
三、一阶线性微分方程 ........２５０
四、微分方程在几何中的应用 ..２５３
习题８-２ ....................２５５
第三节 可降阶的高阶微分方程 ....２５６
一、yn＝f x型的微分方程 ....................２５６
二、y＝f x,y型的微分方程 ....................２５７
三、y＝f y,y型的微分方程 ....................２５８
习题８-３ ....................２５９
第四节 二阶常系数线性微分方程 ..２６０
一、二阶常系数齐次线性微分方程 ....................２６０
二、二阶常系数非齐次线性微分方程 ....................２６４
习题８-４ ....................２７０
第五节 差分方程 ................２７０
一、差分的概念与性质 ........２７０
二、差分方程的概念 ..........２７２
三、一阶常系数线性差分方程 ..２７３
习题８-５ ....................２７７
第六节 微分方程在经济中的应用 ..２７８
阅读资料 ........................２８１
本章小结 ........................２８３
第九章 多元函数微分学 ..............２８６
第一节 空间解析几何简介 ........２８６
一、空间直角坐标系 ..........２８６
二、曲面与方程 ..............２８８
习题９-１ ....................２９２
第二节 多元函数的概念、极限与连续 ....................２９２
一、多元函数的概念 ..........２９２
二、常见的多元经济函数 ....２９５
三、多元函数的极限与连续 ....２９７
习题９-２ ....................３００
第三节 偏导数与全微分 ..........３０１
一、偏导数的概念 ............３０１
二、高阶偏导数 ..............３０３
三、偏导数的经济意义 ........３０５
四、全微分的概念 ............３０７
.五、近似计算 ..............３１１
习题９-３ ....................３１１
第四节 多元复合函数与隐函数的微分法 ..................３１２
一、复合函数的微分法 ........３１３
二、隐函数的微分法 ..........３１６
习题９-４ ....................３１８
第五节 多元函数的极值 ..........３１８
一、二元函数的极值 ..........３１８
二、最大值与最小值 ..........３２０
三、条件极值 ..............３２１
四、最小二乘法 ............３２３
习题９-５ ....................３２５
知识拓展 期权定价模型 偏微分 ..３２５
阅读资料 ........................３２９
本章小结 ........................３３１
第十章 多元函数积分学 ..............３３３
第一节 二重积分 ................３３３
一、二重积分的概念 ..........３３３
二、二重积分的性质 ..........３３６
习题１０-１ ....................３３７
第二节 二重积分的计算 ..........３３８
一、利用直角坐标系计算二重积分 ....................３３８
二、交换累次积分次序计算二重积分 ....................３４５
三、利用极坐标计算二重积分 ..................３４６
习题１０-２ ....................３５０
第三节 二重积分的应用 ..........３５１
习题１０-３ ....................３５３
阅读资料 ........................３５３
本章小结 ........................３５５
第十一章 无穷级数 ..................３５６
第一节 数项级数 ................３５６
一、数项级数的基本概念 ......３５７
二、数项级数的性质 ..........３５９
习题１１-１ ....................３６２
第二节 数项级数收敛判别法 ......３６２
一、正项级数及其比较判别法 ..３６３
二、交错级数 ................３６８
三、任意项级数 ..............３６９
习题１１-２ ....................３７１
第三节 幂级数及其性质 ..........３７２
一、幂级数及其收敛性 ........３７３
二、幂级数的运算性质 ........３７６
习题１１-３ ....................３７８
第四节 函数展开成幂级数 ........３７９
一、泰勒级数 ................３７９
二、函数展开成幂级数 ........３８０
三、幂级数在近似计算中的应用 ..................３８４
习题１１-４ ....................３８５
第五节 级数在经济中的应用举例 ..３８６
知识拓展 人口预测模型 ..........３８９
阅读资料 ........................３９２
本章小结 ........................３９３
附录A 积分表 ......................３９５
附录B 数学建模简介 ................４０５
附录C 数学软件
MATLAB简介 ....４２９
部分习题参考答案 ....................４４３
参考文献 ........................４６６
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| 內容試閱：
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前言
数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学,是人类文化和文明的重要组成部分．能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志,数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用．
步入２１世纪,学科间的交叉与融合越来越普遍,作为一种定量分析工具,数学方法在经济、管理的实践中被大量运用．因此,普通应用型高校经管类各专业对数学课程提出了新的更高的要求,数学教学更加注重培养学生运用数学知识解决经济问题的能力．针对新形势下应用型大学数学教育的改革思路以及教育部高等院校应用型人才的培养目标,为了培养优秀的经济管理类应用型人才,课程组微分方程应用研究团队在国内外专家、学者的指导下,经过多年的调研、考察和教学实践,充分借鉴国内外最新优秀教材的思想和方法,编写了适用于经管类各专业学生使用的大学数学教材经济数学第３版．通过三年的试用和六年多的使用,课程组不断改进、充实和完善教材内容,取得了很好的教学效果,较大地提高了大学数学的教学质量．该教材是全国高等学校大学数学教学研究与发展中心、山西省教育厅教改课题大学生数学建模竞赛应用能力培养的研究与实践和山西省教育科学十三五规划课题基于应用能力培养的本科院校高等数学教学改革研究的主要研究成果之一;经济数学教材的第１版和第２版,在２０１０年和２０１２年山西省普通高等学校教学成果奖评选中两次荣获二等奖．
本书在编写过程中,以高等学校经管类专业微积分课程的教学大纲为基础,注重与经管类专业课程的衔接,同时保持了数学学科的科学性和系统性．教材在内容上突出精选够用,表达上力求通俗易懂,满足了高等教育实践性、应用性强的特点．在概念引入、理论分析等环节上注意结合经管类学生的实际,尽可能从学生熟悉的问题入手,进行深入浅出的讲解,力求使基本概念、基本定理直观化、具体化．
为了更好地适应高等教育应用型人才的培养,我们结合高校教材最新的发展趋势,对经济数学第２版进行了全面的修改,并根据经管类学生的实际情况,对教材的许多内容进行了删、减、增实用、细的处理,弱化数学定理的证明,充分注重数学与经济各学科间的交叉,注重数学在经济、管理中的应用．本书将数学建模的思想贯穿到大学数学教学中,逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和自学能力,增强学生运用所学知识去分析、解决经济问题的初步能力,为后继课程和今后工作打下必要的数学基础．
在编写过程中,课程组注重教材的基础性、实践性、科学性和先进性,突出三用一新的特点,即实用、适用、够用和创新．本书知识体系完整,结构严谨,内容精练,循序渐进,推理简明,通俗易懂．本书在例题和习题的选配上,遵循由易到难的原则,同时辅以历年研究生入学考试中的经典题型,以满足不同层次学生的需求,并提供了部分习题的参考答案或提示．
与其他经济数学教材相比,本书还有如下特点．
１本书在大学数学的体系、内容、方法上进行了改革．将数学和经济紧密结合在一起,这是以往经济数学教材很少做过的．为此课程组查阅了大量和经济有关的数学教材,仔细研究了宏观、微观经济学和其他经济类专业课程的教材,从中找出和微积分密切相关并且具有典型特色的经济模型和案例．
２本书将数学建模思想、方法贯穿于整个课程体系之中．我们在很多章节给出了与教材章节内容有关的数学建模案例,又在附录中对数学建模进行了专门的介绍．通过这种方式,既可以提高读者在学习过程中的兴趣,又可以达到理论联系实际的目的,对培养读者的创新意识很有帮助．
３本书注重培养学生应用所学的数学知识解决数学问题的能力,特别是将数学软件MATLAB结合具体教学内容进行讲授,包括基本使用方法,借助软件完成公式演算、数值计算、图形绘制的练习等,其目的是突出对学生建模能力的培养,提高学生的分析能力和运用数学知识解决实际问题的能力．
４本书将数学文化修养提到了一个新的高度．把数学看成是一种崭新的文化,是人类如何对待世界的一种新态度和一种新思维．有鉴于此,本书在各章结尾附有与其内容相关的数学文化知识,包括数学史、数学家简介、数学逸事等内容,使学生真正体会到数学之美,充分展现数学课程的人文教育功能．
本书由山西大学商务学院的张杰明教授提出编写思想、提纲、列出章节目录,负责全书的策划、统稿、定稿,并且编写了第一章、第十章和附录C;景冰清副教授编写了第二章;太原工业学院的张晋珠教授编写了第三章和附录B;杨晨副教授编写了第四章;太原学院的尚肖飞副教授编写了第五章和第七章;赵转萍老师编写了第六章和附录A;张艳桃老师编写了第八章;李文姿老师编写了第九章;太原学院的赵登科副教授编写了第十一章．
在编写过程中,山西大学的郭耀鹏教授、山西财经大学的王译教授和太原理工大学的张洪斌教授都仔细审阅了本书,并提出许多宝贵的指导意见,使本书增色不少．本书还得到山西大学商务学院的徐仲安教授、杨继平教授、石生教授的大力支持．
由于编者的水平有限,书中的缺点和错误在所难免,欢迎广大专家、同行和读者批评指正．
编 者
第一章 函数
函数是数学中最重要的基本概念之一,是现实世界中变量与变量之间依赖关系的数学描述,也是经济数学的主要研究对象．在这一章中,我们将在已有知识的基础上,进一步加深对函数概念及性质的理解和掌握,为学习本课程打下必要的理论基础．
第一节 集合
一、集合的概念
集合是现代数学中最基本的概念之一．研究任何对象都不可避免地用到集合,例如所有自然数的集合、一个方程根的集合、某三角形内所有点的集合、一个班全体学生的集合等．一般来说,具有某种特定性质的对象的总体称为集合,组成集合的每一个对象称为集合的元素．
通常以大写字母A 、B、D ?表示集合,而以小写字母a、b、x?表示集合的元素．若a 是集合A的元素,则记作aA,读作a 属于A 或a 在A 中;否则记作aA,读作a 不属于A 或a 不在A中．一个集合,若它只含有有限个元素,则称为有限集;不是有限集的集合称为无限集．集合常用的表示法有３种：列举法、图示法和描述法．
１列举法．把集合的全体元素一一列举出来表示,并用花括号括起来．例如,由元素a１,a２,?,an 组成的集合A ,可表示成A ＝{a１,a２,?,an};由元素１,２组成的集合B,可表示成B＝{１,２}．
注意：用列举法表示集合时,必须列出集合的所有元素,不得遗漏和重复．
２图示法．以数轴或坐标系的点表示元素,用这些点所组成的区间或区域表示集合的方法．这种表示法在讨论集合关系时显得直观、形象．
３描述法．若集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成的,就可表示成M ＝{x|x 具有性质P}．
这里x 所具有的性质P ,实际上就是x 作为M 的元素应满足的充分必要条件：符合性质P 的任何对象都是集合M 的元素;反之,集合M 的元素都必须符合性质P ．
例如,设集合C 是方程x－１x－２＝０的解集,集合C 就可表示成C＝{x|x－１x－２＝０}．
而xOy 平面上坐标满足方程x２＋y２＝R２ 的点x,y的全体组成的集合M ,可记作M ＝{x,y|x２＋y２＝R２,xR 且yR}．
这个集合M 实际上就是xOy 平面上以点O 为圆心、以R 为半径的圆周上的点的全体组成的集合．
以后要用到的集合主要是数集,即元素都是数的集合．如果没有特别声明,以后提到的数都是在实数范围内讨论．
全体自然数的集合记作N,全体整数的集合记作Z,全体有理数的集合记作Q,全体实数的集合记作R．
如果集合A 的元素都是集合B 的元素,即若xA ,则必xB,就说A 是B 的子集,记作A B读作A 包含于B或BA读作B 包含A,如NZ,ZQ,QR．
如果A B,且BA ,就称集合A 与B 相等,记作A ＝B．例如,设
A ＝{x|x２＝１},B＝{１,－１},
则A ＝B．
不含任何元素的集合称为空集,记作,且规定空集为任何集合的子集．
例如,A ＝{x|x２＋１＝０,xR}＝,因为适合条件x２＋１＝０的实数是不存在的．
二、集合的运算
集合的基本运算有以下几种：并、交、差、补．
设A 、B 是两个集合,由A 和B 的所有元素构成的集合,称为A 与B 的并集简称并,记作A B,即
A B＝{x|xA 或xB}．
由A 和B 的所有公共元素构成的集合,称为A 与B 的交集简称交,记作A B,即
A B＝{x|xA 且xB}．
由所有属于A 而不属于B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的差集,记作A －B,即
A －B＝{x|xA 且xB}．
由所研究的所有对象构成的集合称为全集,记作I．全集I 中所有不属于A 的元素构成的集合,称为A 的补集,记作A ,即
A ＝{x|xI 且xA}．
设A 、B、C 为任意３个集合,则下列法则成立．
１交换律：A B＝BA ,A B＝BA ．
２结合律：A BC＝A BC;
A BC＝A BC．
３分配律：A BC＝A CBC;
A BC＝A CBC．
４摩根律：A B＝A B,A B＝A B．
在两个集合之间还可以定义笛卡儿乘积．
设A 、B 是任意两个集合,xA ,yB,所有二元有序数组x,y构成的集合,称为A 与B 的笛卡儿乘积,记作A B,即
A B＝{x,y|xA ,yB}．
例如,设A ＝{１,３,５,７},B＝{２,４},则
A B＝{１,２,１,４,３,２,３,４,５,２,５,４,７,２,７,４}．
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