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| 編輯推薦： |
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本书结合作者数十年的阅卷经验，归纳、分析了在近十多年全国硕士研究生入学统一考试数学试题的解答过程中，考生所出现的典型错误，以帮助备考的考生有意识地发现自己在对知识点的理解和考点的表现方式方面所存在的缺陷。
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| 內容簡介： |
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本书结合作者数十年的阅卷经验，归纳、分析了在近十多年全国硕士研究生入学统一考试数学试题的解答过程中考生所出现的典型错误，以帮助备考的考生有意识地发现自己在对知识点的理解和考点的表现方式方面所存在的缺陷.此书是针对经济、管理类各专业的考生（选择数学三试卷）而编写的，共安排三个部分：微积分、线性代数、概率论与数理统计.为了便于考生与自己的解答相对照并且能够达到知其所以然的目的，对于所选择的真题，在给出题目后，首先进行“考点分析”，然后给出详细解答，再通过“方法点击”加以提炼，*后列出“典型错误”并给出出错的原因分析.
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| 關於作者： |
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张天德，1995年破格晋升副教授，2000年晋升教授。现任山东大学数学学院教授、硕士研究生导师，全国硕士研究生入学考试山东阅卷组组长，全国大学生数学竞赛山东赛区负责人，普通高考阅卷组组长，山东数学会高等数学专业委员会理事长，全国微课程比赛山东赛区副主任兼秘书长。在科学出版社、高等教育出版社、山东科学技术出版社、天津科学技术出版社等10几家出版社主编各类大学、高中教材、辅导读物50余种，所编图书长期占据各大书店排行榜。
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| 目錄：
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目录
CONTENTS
第一部分微积分
一、 函数极限连续
二、 一元函数微分学
三、 一元函数积分学
四、 多元函数微分学
五、 二重积分
六、 无穷级数
七、 微分方程与差分方程
第二部分线性代数
一、 行列式
二、 矩阵
三、 向量
四、 线性方程组
五、 矩阵的特征值和特征向量
六、 二次型
第三部分概率论与数理统计
一、 随机事件和概率
二、 随机变量及其分布
三、 利用分布求概率及数字特征
四、 统计量及抽样分布
五、 统计推断
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| 內容試閱：
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前言
Foreword
为了帮助广大考生能够在较短的时间内，准确理解和熟练把握考研数学的命题方式和解题规律，全面提高解题能力和应考能力，在最短的时间内轻松夺取考研数学高分，我们严格依据教育部制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》，邀请到众多有着丰富命题、阅卷和辅导经验的一线名师精心编写了这本《考研数学试题典型错误辨析》.历年的考研真题完全反映了考研命题的指导思想、基本原则和出题趋势，是教育部考试中心一届又一届命题组老师们精挑细选出极具典型性和代表性的题目.历年来，研究生入学考试数学各学科知识点没有太大的变化，而且各学科考查的重点、难点比较稳定，在以往考试中会反复考查.通过反复研究真题，考生可以从中发现规律，归纳出考查的重点、难点及常考题型，准确把脉定位自己的薄弱环节，进一步明确复习方向.而辨析以往试卷中的典型错误，能够最有效地暴露自己的不足和复习时的误区，提供更有效的复习思路和策略.本书包含十几年的考研真题，答案解析扼要翔实，方法指导高屋建瓴，考点总结提纲挈领，典型错误辨析全面，能极大地提高考生的解题技巧和思维方式，全面提升考生的数学素养和能力.本书主要特点是： 1． 全面归纳总结： 既有对考点分布的汇总和常考知识点的归纳，也有对重要题型的解题思路、解题方法和答题技巧的深层次总结.据此考生不仅可以从全局上对考试要点有整体性的把握，更可以纲举目张，系统地把握数学知识的内在逻辑性.2． 互动能力提升： 每套试卷的每个题目，从知识点到思路再到方法都给出了翔实的点拨，部分难题、大题给出了多种解法，真正把每一个题目研究透.通过对本书真题的研习，考生可以切实掌握考研数学的重点、难点以及深度，真正吃透题目解法，达到考试时胸有成竹的境界.3． 深入剖析错误： 根据编者多年的研究生入学考试数学阅卷经验，本书将各种典型错误解法放在相应的题目解答后面，培养思考错题、分析错题、善待错题的态度和习惯.这样考生可避免再犯同类的错误，杜绝失分现象，有效减少失分.4． 栏目实用生动： 每道题目分为【考点分析】【解】【方法点击】【典型错误】几个特色板块：【考点分析】从命题人的角度给出了想要考查的知识点，让考生掌握考研数学应该复习的重点内容.从解题思路层面解析每一个题目，使考生不仅会做题目，而且会分析题目并会做同样类型的题目；【解】全面翔实的解题过程；【方法点击】就试题解答中所采用的方法进行总结，从解题的角度串起不同的知识点，使考生在潜移默化中培养数学思维模式.【典型错误】研习错误解法也是一种重要的学习方法.编者根据多年的考研阅卷工作的经验，总结了考试时往年考生常见的错误，研习他人和自己可能犯的错误，就能进一步明辨是非，不再重蹈覆辙.阅读本书时，应先自己动手做题，再将自己的结果与本书中的解法相比较.考生从平时就要加强对自己计算能力的训练，同时尽量按步骤把每一个题目的解答过程写下来，一来避免出错，二来养成卷面整洁的习惯.另外我们建议考生把本书的全部试题做2~3遍，通过反复练习，把不明白的地方真正弄明白，达到看到类似的题目就能想到解题思路的地步，才可以在最后的考试中做到胸有成竹.本书由张天德、吕洪波、叶宏、张德瑜编著.衷心希望我们的这本《考研数学试题典型错误辨析》能对您有所裨益.祝愿所有备考硕士研究生入学考试的学子们获取高分，心想事成！2017年4月
〖1〗
考研数学试题典型错误辨析： 数学三
前言
三、一元函数积分学（一）内容概括积分学是微积分的主要部分，在高等数学中占有十分重要的地位，而一元函数积分学是积分学的基础.从某种意义上讲不定积分处于辅助位置，不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具.利用定积分可以解决许多实际问题.（二） 考试要求一元函数积分学是考研数学复习的重点及难点之一.最新颁布的全国硕士研究生入学考试大纲（数学三）中对一元函数积分学的要求是： 1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式.5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分.6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等及函数的平均值.三 真题解析例12011年求不定积分arcsinx lnxxdx.【考点分析】不定积分的换元法与分部积分法.【解】解法一arcsinx lnxxdx=arcsinx lnxd2x=2xarcsinx lnx-11-x 2xdx=2xarcsinx 2xlnx 21-x-4x C=2xarcsinx xlnx 1-x-2x C.解法二arcsinx lnxxdxx=t2arcsint 2lntdt=2arcsintdt 4lntdt=2tarcsint-2t1-t2dt 4tlnt-4t=2tarcsint 1-t2 tlnt2-2t C=2xarcsinx 1-x xlnx-2x C.【方法点击】① 不定积分法主要有： 直接积分法、第一换元法、第二换元法与分部积分法.读者应熟记各种方法的特点及适用范围.② 当被积函数中含有x的无理根式时，则常采用根式变换法； 当被积函数中含有对数函数或反三角函数时，则必须用分部积分法.当二者兼而有之时，应先换元，再应用分部积分法.【典型错误】部分考生在解法一中凑微分时丢掉系数，导致结果错误.另有考生不知道用换元法，令x=t.例22010年Ⅰ 比较10|lnt|［ln1 t］ndt与10tn|lnt|dtn=1,2,的大小，说明理由；Ⅱ 记un=10|lnt|［ln1 t］ndtn=1,2,,求极限limnun.【考点分析】本题考查定积分的性质及夹逼准则.【解】Ⅰ 当0x1时，0ln1 xx,故当0t1时，［ln1 t］ntn,所以|lnt|［ln1 t］ntn|lnt|.从而10|lnt|［ln1 t］ndt10tn|lnt|dt.Ⅱ 由Ⅰ知0un10tn|lnt|dt,而
10|lnt|tndt=-10tnlntdt=-1n 1tn 1lnt10 101n 1tndt=1n 12.
又由于limn11 n2=0,根据夹逼准则知，limnun=0.【方法点击】1 设fx,gx在［a,b］上可积，则有：① 若在［a,b］上恒有fxgx,则bafxdxbagxdx.② 若fx在［a,b］上的最大值为M，最小值为m,则mb-abafxdxMb-a.③ 若fx在［a,b］上连续，则至少存在一点［a,b］，使得bafxdx＝fb-a.2 对于结论： 当0x1时，ln1 xx，可以如下证明：令fx=ln1 x-x，则当0x1时，fx=11 x-10,所以fxf0=0,即ln1 xx.【典型错误】有的考生不会利用不等式： 0ln1 xx,当0x1时，因此没有得到Ⅰ的结果； 当然也就求不出极限： limnun的值.例32011年设I＝40ln sinxdx,J=40ln cotxdx,K=40ln cosxdx,则I，J，K的大小关系是.
A I0，求fx，并求fx的最小值.【考点分析】含参变量的积分，分段函数的导数，函数的最值.【解】当01时，fx=10x2-t2dt=x2-13，所以
fx=43x3-x2 13,01.
而
f-1=limx1-43x3-x2 13-23x-1=2,f 1=limx1 x2-13-23x-1=2,
故
fx=4x2-2x,01.
由fx=0求得唯一驻点x=12.又f120，从而x=12为fx的最小值点，最小值为f12=14.【方法点击】本题是综合计算题型，考查到含参变量的积分，分段函数的导数以及函数最值的计算，是数学考研中的重点计算方法和题型，考生在复习时应熟练掌握.【典型错误】求积分10|t2-x2|dt，要将参数x0分为01两种情况分别计算，部分考生没有考虑到，出现错误.例102016年设函数fx连续，且满足x0fx-tdt=x0x-tftdt e-x-1，求fx.【考点分析】变限积分函数求导，一阶线性微分方程求解.【解】令u=x-t,则x0fx-tdt=x0fudu.由题设得x0fudu=xx0ftdt-x0tftdt e-x-1，求导得
fx=x0ftdt-e-x,且f0=-1.
因此fx-fx=-e-x，从而
fx=edxC e-xe-dxdx=Cex-e-x2.
由f0=-1，得C=-12，所以fx=-12ex e-x.【方法点击】① 变限积分求导公式：
xaftdt=fx,bxftdt=-fx,
xaftdt=fxx,bxftdt=-fxx,
xxftdt=fxx-fxx.
② 一阶线性微分方程y pxy=qx的通解为
y=e-pxdxqxepxdxdx C.
【典型错误】在对积分x0fx-tdt和x0x-tftdt求导时，由于被积函数中含有x，不能直接对x求导，正确的做法是应通过换元u=x-t,即x0fx-tdt=x0fudu，利用定积分性质化x0x-tftdt=xx0ftdt-x0tftdt，使被积函数中不出现x，然后再对方程两边求导，并解方程，有些考生易出现上述问题，应引起重视.例112017年求limnnk=1kn2ln1 kn.【考点分析】定积分的定义，定积分计算.【解】limnnk=1kn2ln1 kn=limnnk=1knln1 kn1n=10xln1 xdx=12x2ln1 x10-1210x21 xdx=12ln2-1210x-1 11 xdx=12ln2-14x-1210-12ln1 x10=14.【方法点击】利用定积分定义求极限.若xn=ni=1ai可以表示为xn=1nni=1bi，而bi=fin或fi-1n，则
limnxn=10fxdx.
【典型错误】本题利用定积分的定义把数列的极限表示为定积分，再应用定积分的分部积分法计算定积分，题中加项的项数随n变动，不能用加法求极限法则.部分考生计算定积分10xln1 xdx时错误.例122005年设fx,gx在［0，1］上的导数连续，且f0=0,fx0,gx0.证明： 对任何a［0,1］，有
a0gxfxdx 10fxgxdxfag1.
【考点分析】积分不等式的证明.证证法一设Fx=x0gtftdt 10ftgtdt-fxg1,x［0,1］,则Fx在［0，1］上的导数连续，并且
Fx=gxfx-fxg1=fx［gx-g1］.
由于当x［0,1］时，fx0,gx0gxg1，因此Fx0,即Fx在［0，1］上单调递减.注意到
F1=10gtftdt 10ftgtdt-f1g1.
而
10gtftdt=10gtdft=gtft10-10ftgtdt
=f1g1-10ftgtdx.
故F1=0.因此x［0,1］时，Fx0，由此可得对任意a［0,1］有
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