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清华大学优秀博士学位论文丛书（以下简称优博丛书）精选自2014年以来入选的清华大学校级优秀博士学位论文（Top 5%）。每篇论文经作者进一步修改、充实并增加导师序言后，以专著形式呈现在读者面前。优博丛书选题范围涉及自然科学和人文社会科学各主要领域，覆盖清华大学开设的全部一级学科，代表了清华大学各学科*秀的博士学位论文的水平，反映了相关领域*的科研进展，具有较强的前沿性、系统性和可读性，是广大博硕士研究生开题及撰写学位论文的必备参考，也是科研人员快速和系统了解某一细分领域发展概况、*进展以及创新思路的有效途径。
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| 內容簡介： |
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几何分析是微分几何里的一个重要研究分支，其中一个热点就是几何曲率流的引入和广泛研究. 本书主要研究了平均曲率流的自相似解的性质和逆平均曲率流在几何中的应用，得到了一系列成果. 本书适合数学专业高年级本科生及微分几何方向研究生阅读，对从事微分几何和几何分析研究方向的科研人员也具有参考价值.
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| 目錄：
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第1章引言 .1
1.1问题背景和主要结果 1
1.1.1 Self-shrinker的体积增长估计.3
1.1.2 Self-shrinker的分类 5
1.1.3 Self-shrinker的F-稳定性.7
1.1.4曲率流的非坍塌估计 9
1.1.5曲率流在证明几何不等式中的应用 11
1.2结构安排与内容方法 14
第2章预备知识 . 17
2.1 Self-shrinker的例子 17
2.2活动标架法 21
2.3 Self-shrinker的Simons型公式 22
2.4非坍塌估计的几何意义 . 27
2.5曲率流的演化方程 29
第3章 Self-shrinker的体积增长估计 35
3.1 Self-shrinker的体积增长上界估计 35
3.2 Self-shrinker的体积增长下界估计 38
第4章 Self-shrinker的分类 . 49
4.1 Self-shrinker的光滑性估计 49
4.2定理1.2的证明 . 52
4.3高余维self-shrinker的刚性定理 62
曲率流的自相似解和应用
4.3.1余维数为2的self-shrinker 63
4.3.2维数为2的self-shrinker
. 65
4.3.3法联络平坦的self-shrinker 67
第5章 Self-shrinker的F-稳定性 69
5.1 F-泛函的一阶变分公式 69
5.2 F-泛函的二阶变分公式 72
5.3 F-稳定性和二次型I的特征值 75
5.4闭self-shrinkers的F-稳定性 . 77
5.5完备非紧致self-shrinkers的F-稳定性 84
第6章空间形式中曲率流的非坍塌估计 . 89
第7章逆曲率流在证明几何不等式中的应用 . 95
7.1在逆曲率流下单调的几何量 95
7.2单调几何量的渐近估计 . 96
7.3定理1.8的证明 . 99
第8章结论 . 101
8.1本论文的主要工作 101
8.2可进一步开展的研究工作 102
参考文献 . 105
在学期间发表的学术论文 115
致谢 117
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| 內容試閱：
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导师序言几何分析是微分几何里的一个重要研究分支，出现于 20世纪 70年代中期，其主要目的是用分析和微分方程的方法来解决微分几何的问题 .同时，微分几何的研究又提供了大量有几何意义的微分方程，这从某种意义上也促进了微分学的发展 .因此，近 40年来几何分析得以迅速发展，而其中一个热点则为几何曲率流的引入和广泛研究.几何曲率流是一类关于流形或子流形的几何结构的发展方程，其研究的主要目的可概括为：为了研究一个流形或子流形的几何结构，可以研究它在曲率流下的演变过程，进而研究曲率流的极限或者奇点的形成，借此得到该流形或子流形的几何结构的描述 .几何流之所以受到广泛研究，是因为它在解决几何问题时的强有效性 .这方面有很多著名的例子.对于一般的流形而言，最著名的当属 R. Hamilton引入的 Ricci流.应用Ricci流， G. Perelman于2002年成功解决了著名的庞加莱猜想； S. Brendle和R. Schoen于2007年应用 Ricci流证明了 14微分球定理 .其他的几何流，如Kahler-Ricci流、辛几何流、 Yang-Mills流等近年来也得到了广泛的研究和应用，对于研究流形的几何结构起到了很大的作用 .对于子流形的研究而言，平均曲率流和逆曲率流则是两类非常重要的几何流，对于研究子流形的几何结构以及证明一些几何不等式有很重要的作用.韦勇的博士学位论文研究了上述几何曲率流涉及的诸多研究课题，并得到了一系列很有理论价值的重要研究成果.1.在平均曲率流的研究中，自相似解的 self-shrinker描述了平均曲率流的奇点形成 .其体积增长性质则是一个有重要意义的研究课题，例如在进行 self-shrinker的分类研究中，体积增长估计是一个必不可少的条件 .在本文第一部分，韦勇通过细致的研究，发现了 Ricci流中的梯度型自相似收曲率流的自相似解和应用缩孤立子与 self-shrinker满足的微分方程的相似性，进而借鉴梯度型自相似收缩孤立子研究中类似的方法，建立了 self-shrinker体积增长的最优下界估计，即任意完备非紧致的逆紧浸入 self-shrinker都具有至少线性的体积增长.2. Self-shrinker在超曲面情形下已有了广泛的研究，而高余维情形由于余维数的增加和法曲率的出现导致了研究难度加大，因此这方面的研究结果不多 .在本文第二部分，韦勇应用子流形几何中的许多经典方法，研究了高余维情形下 self-shrinker的一些分类定理、刚性定理以及 F-稳定性，推广了超曲面 self-shrinker的许多著名定理 .本部分的研究成果极大地推动了此问题的研究进展，同时也让子流形几何的研究方法在几何分析领域中得到关注.
3. Ben Andrews在2010年用极大值原理简洁地证明了欧氏空间中平均曲率流的非坍塌估计，此结果之后被推广到了欧氏空间中超曲面的 F -曲率流. Ben Andrews的思想和方法已被应用到微分几何中几个重要问题的研究，例如， S. Brendle解决了 Lawson猜想，即三维球面中任何嵌入极小环面必为 Cli.ord环面； Ben Andrews与我合作解决了 Pinkall-Sterling猜想，即三维球面中任何嵌入常平均曲率环面必为旋转环面， Ben Andrews与我还给出三维球面中所有嵌入常平均曲率环面的完全分类 .此外，非坍塌估计在平均曲率流的奇点形成以及手术过程的研究中也有重要应用 .本文第三部分，韦勇将欧氏空间中曲率流的非坍塌估计推广到了球面和双曲空间中的超曲面的F -曲率流，这将有助于此类曲率流的研究 .
4.正如前文提到，几何曲率流的重要性在于它在解决几何问题中的应用.在本文最后一部分，韦勇应用双曲空间中的逆曲率流建立了双曲空间中星形 2-凸超曲面的一类最优的 Alexandrov-Fenchel型不等式 . Alexandrov-Fenchel型不等式是经典的等周不等式的推广，可应用到几何与物理的其他诸多课题，例如可应用到渐近平坦图流形的 Penrose不等式证明中 .本结果是双曲空间中第一个最优的 Alexandrov-Fenchel型不等式，该研究成果随后引发了国内外其他学者的后续系列研究工作.
本论文的研究对象属于当前几何分析的热点研究领域，论文的研究成果引出了许多相关的且前景广阔的研究课题 .例如对于高余维的 self-shrinker的分类和 F-稳定性的研究，目前得到完整的分类或刻画尚有很多困导师序言难.本文提供了大量的研究方法和技巧，对于此问题的进一步研究有很好的借鉴意义 .对于曲率流的非坍塌估计，本文将欧氏空间中的情形推广到了空间形式中，自然地可进一步考虑任意黎曼流形中曲率流的非坍塌估计 .在这方面， Brendle以及 Haslhofer-Hershkovits最近取得了部分进展 .最后，本文应用逆曲率流建立了双曲空间中的一类 Alexandrov-Fenchel不等式，因此也自然地可以考虑在其他外围空间中建立类似的几何不等式，并激发人们去研究几何曲率流的更多应用.本论文适合数学专业高年级本科生以及微分几何方向的研究生阅读，对从事微分几何和几何分析研究的科研人员也具有参考价值.李海中清华大学数学科学系 2017年 7月
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