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| 內容簡介： |
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本书是实分析课程的教材，被国外众多大学（如斯坦福大学、哈佛大学等）采用。全书分为三部分：第壹部分为实变函数论，介绍一元实变函数的勒贝格测度和勒贝格积分；第二部分为抽象空间，介绍拓扑空间、度量空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间；第三部分为一般测度与积分理论，介绍一般度量空间上的积分，以及拓扑、代数和动态结构的一般理论。书中不仅包含数学定理和定义，而且还提出了富有启发性的问题，以便读者更深入地理解书中内容。
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| 目錄：
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第一部分 一元实变量函数的Lebesgue积分
第0章 集合、映射与关系的预备知识3
0.1 集合的并与交3
0.2 集合间的映射4
0.3 等价关系、选择公理以及Zorn引理5
第1章 实数集：集合、序列与函数7
1.1 域、正性以及完备性公理7
1.2 自然数与有理数11
1.3 可数集与不可数集13
1.4 实数的开集、闭集和Borel集16
1.5 实数序列20
1.6 实变量的连续实值函数25
第2章 Lebesgue测度29
2.1 引言29
2.2 Lebesgue外测度31
2.3 Lebesgue可测集的代数34
2.4 Lebesgue可测集的外逼近和内逼近40
2.5 可数可加性、连续性以及Borel-Cantelli引理43
2.6 不可测集47
2.7 Cantor集和Cantor-Lebesgue函数49
第3章 Lebesgue可测函数54
3.1 和、积与复合54
3.2 序列的逐点极限与简单逼近60
3.3 Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理64
第4章 Lebesgue积分68
4.1 Riemann积分68
4.2 有限测度集上的有界可测函数的
Lebesgue积分71
4.3 非负可测函数的Lebesgue积分79
4.4 一般的Lebesgue积分85
4.5 积分的可数可加性与连续性90
4.6 一致可积性：Vitali收敛定理92
第5章 Lebesgue积分：深入课题97
5.1 一致可积性和紧性：一般的Vitali收敛定理97
5.2 依测度收敛99
5.3 Riemann可积与Lebesgue可积的刻画102
第6章 微分与积分107
6.1 单调函数的连续性108
6.2 单调函数的可微性：Lebesgue定理109
6.3 有界变差函数：Jordan定理116
6.4 绝对连续函数119
6.5 导数的积分：微分不定积分124
6.6 凸函数130
第7章 Lp空间：完备性与逼近135
7.1 赋范线性空间135
7.2 Young、H鰈der与Minkowski不等式139
7.3 Lp是完备的：Riesz-Fischer定理144
7.4 逼近与可分性150
第8章 Lp空间：对偶与弱收敛155
8.1 关于Lp（1≤p＜∞）的对偶的Riesz表示定理155
8.2 Lp中的弱序列收敛162
8.3 弱序列紧性171
8.4 凸泛函的最小化174
第二部分 抽象空间：度量空间、
拓扑空间、Banach空间
和Hilbert空间
第9章 度量空间：一般性质183
9.1 度量空间的例子183
9.2 开集、闭集以及收敛序列187
9.3 度量空间之间的连续映射190
9.4 完备度量空间193
9.5 紧度量空间197
9.6 可分度量空间204
第10章 度量空间：三个基本定理206
10.1 Arzelà-Ascoli定理206
10.2 Baire范畴定理211
10.3 Banach压缩原理215
第11章 拓扑空间：一般性质222
11.1 开集、闭集、基和子基222
11.2 分离性质227
11.3 可数性与可分性228
11.4 拓扑空间之间的连续映射230
11.5 紧拓扑空间233
11.6 连通的拓扑空间237
第12章 拓扑空间：三个基本定理239
12.1 Urysohn引理和Tietze延拓定理239
12.2 Tychonoff乘积定理244
12.3 Stone-Weierstrass定理247
第13章 Banach空间之间的连续线性算子253
13.1 赋范线性空间253
13.2 线性算子256
13.3 紧性丧失：无穷维赋范线性空间259
13.4 开映射与闭图像定理263
13.5 一致有界原理268
第14章 赋范线性空间的对偶271
14.1 线性泛函、有界线性泛函以及弱拓扑271
14.2 Hahn-Banach定理277
14.3 自反Banach空间与弱序列
收敛性282
14.4 局部凸拓扑向量空间286
14.5 凸集的分离与Mazur定理290
14.6 Krein-Milman定理295
第15章 重新得到紧性：弱拓扑298
15.1 Helly定理的Alaoglu推广298
15.2 自反性与弱紧性：Kakutani定理300
15.3 紧性与弱序列紧性：Eberlein-mulian定理302
15.4 弱拓扑的度量化305
第16章 Hilbert空间上的连续线性算子308
16.1 内积和正交性309
16.2 对偶空间和弱序列收敛313
16.3 Bessel不等式与规范正交基316
16.4 线性算子的伴随与对称性319
16.5 紧算子324
16.6 Hilbert-Schmidt定理326
16.7 Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻画329
第三部分 测度与积分：一般理论
第17章 一般测度空间：性质与构造337
17.1 测度与可测集337
17.2 带号测度：Hahn与Jordan分解342
17.3 外测度诱导的Carathéodory测度346
17.4 外测度的构造349
17.5 将预测度延拓为测度：Carathéodory-Hahn定理352
第18章 一般测度空间上的积分359
18.1 可测函数359
18.2 非负可测函数的积分365
18.3 一般可测函数的积分372
18.4 Radon-Nikodym定理381
18.5 Nikodym度量空间：Vitali-Hahn-Saks定理388
第19章 一般的Lp空间：完备性、对偶性和弱收敛性394
19.1 LpX, （1≤p≤∞）的完备性394
19.2 关于LpX, （1≤p
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| 內容試閱：
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H. L. Royden的《实分析》前三版已帮助了几代学习数学分析的学生. 第4版保持了前一版的目标与总体结构—为现代分析人员提供他们需要知道的测度论、积分论以及泛函分析的知识.
本书分为三部分：第一部分讨论一元实变量函数的Lebesgue测度与Lebesgue积分；第二部分讨论抽象空间—拓扑空间、度量空间、Banach空间以及Hilbert空间；第三部分讨论一般测度空间上的积分，以及拓扑、代数或动力结构下丰富的一般理论.
第二部分和第三部分的内容原则上不依赖于第一部分. 然而，第一部分在学生熟悉的背景下提出了新概念，这为第二部分和第三部分建立更为抽象的概念奠定了基础. 此外，在第一部分创立的Banach空间—Lp空间，是最为重要的Banach空间类之一. 建立Lp空间的完备性以及它们的对偶空间的主要理由是在这些空间上的泛函与算子的研究中能够运用泛函分析的标准工具. 第二部分的目标是创建这些工具.
第4版的主要更新
与前一版相比本版新增了50%的习题.
证明了一些基本的结果，包括Egoroff定理和Urysohn引理.
与若干其他概念一起正式给出了Borel-Cantelli引理、Chebychev不等式、快速Cauchy序列，以及测度与积分所共有的连续性质.
本书的每一部分都有一些值得留意的变动：
第一部分
给出了一致可积性的概念和Vitali收敛定理，它们是关于Lebesgue积分计算的基本定理证明的最重要部分.
Lp（E）（1≤p≤∞）空间中快速Cauchy序列的性质的精确分析现在是这些空间的完备性证明的基础.
详细讨论了Lp（E）（1≤p≤∞）空间中的弱序列紧性，它被用于证明连续凸泛函的最小值点的存在性.
第二部分
度量和拓扑空间的一般结构性质分为两个简短的章，在这两章中主要定理得到了证明.
对于Banach空间的处理，除了讨论有界线性算子的基本结果之外，还详细讨论了由Banach空间和它的对偶空间之间的对偶性诱导的弱拓扑的紧性.
新增一章讨论Hilbert空间上的算子，其中弱序列紧性是证明关于紧对称算子的特征向量上的Hilbert-Schmidt定理以及刻画由Riesz和Schuader给出的作用在Hilbert空间的指标为零的线性Fredholm算子的基础.
第三部分
建立了一般的测度与积分理论，包括Lp（X, ）（1≤p≤∞）空间的完备性及其对偶空间的表示，探讨了这些空间的弱序列紧性，包括刻画L1（X, ）空间中的弱序列紧性的Dunford-Pettis定理的证明.
对于紧Hausdorff空间X，为刻画C（X）的对偶讨论了拓扑与测度之间的关系. 通过紧性论据，这导致了关于紧群上唯一不变测度的存在性的von Neumann定理的证明，以及关于紧Hausdorff空间上的映射是遍历的概率测度的存在性的证明.
测度与积分的一般理论诞生于20世纪初. 它现在是概率论、偏微分方程、泛函分析、调和分析以及动力系统等备受关注的若干数学领域不可或缺的要素. 事实上，它已成为一个统一的概念. 许多不同的题材能够一致地用该理论处理积分与泛函分析之间的关系，特别是积分与弱收敛性之间的伴随关系，在这里得到强化：这在非线性偏微分方程的分析中是重要的（见L. C. Evans的书《Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations》[AMS, 1990]）.
参考文献中列出了一些书，这些书在正文中没有被具体引用，但应作为补充材料和不同观点供查询. 特别是，列出了两本关于数学分析的有趣历史的书.
课程建议：第一学期
在第1章，建立了第一部分需要的所有实直线的初等分析与拓扑的背景知识. 这个初始章可作为便利的参考内容. 核心内容包括第2～4章、6.1～6.5节、第7章以及8.1节. 此外，以下内容可根据需要选择：8.2～8.4节对继续研究赋范线性空间的对偶性与紧性的学生是有意义的；而 5.3节包含经典分析的两个瑰宝—Lebesgue可积性的刻画与关于有界函数的Riemann可积性的刻画.
课程建议：第二学期
第二学期的课程应基于第三部分. 初始的核心材料包括17.1节、18.1～18.4节以及19.1～19.3节. 第17章的其余节可在开始或后面需要时讲解：17.3～17.5节在第20章之前讲授，17.2节在第21章之前讲授. 继而可讲授第20章. 这些都不依赖于第二部分. 几个备选题材需要涉及第二部分的内容.
建议1：证明Baire范畴定理及其关于连续函数序列的逐点极限的偏连续性的推论（第10章的定理7），从Riesz-Fischer定理推出Nikodym度量空间是完备的（第18章的定理23），证明Vitali-Hahn-Saks定理并接着证明Dunford-Pettis定理.
建议2：涵盖关于测度与拓扑的第21章（略去20.5节），假设拓扑空间是可度量化的，因此20.1节可被略去.
建议3：证明无穷维赋范线性空间的闭单位球关于由范数诱导的拓扑是非紧的Riesz定理，以此作为得到关于弱拓扑的序列紧性的动机. 接着，若Lq（X, ）是可分的，用Helley定理得到Lp（X, ）（1
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