自序
国内外对数学建模有很多定义 ,数学教育界、数学科研领域和其他学科的科研领域对于数学建模的定义不尽相同。有学生问我 数学建模到底是什么 ,我会跟他讲 ：如果说数学是在解决问题 学科内或学科外的问题 ,那么数学建模就是想办法 多、快、好、省地解决问题。
多表征泛性 ,即一个模型可以用来解决基本假设相同或等价的一类问题 ;
快表征时间效率 ,即模型解决问题的时间复杂度要尽可能低 ;
好表征解决的效果 ,即模型的结果要有应用价值 ;
省表征空间效率 ,即模型解决问题的空间复杂度也要尽可能低。
当然 ,一般来说 多、快、好、省这四件事不可能同时达到最优 ,这时候就要有一些数学上的协调。协调的策略依赖于解决问题时的观点 ,不同的观点在数学上可以理解为不同的公理 ,也就是所谓的 基本假设 。有了基本假设 ,就可以选择恰当的数学语言承载问题中的数学模式 ,并用适当的数学工具进行求解。求解得好 ,反过来还要用实证例子检验 ,通过了就可以拿去用在实事上 ;不通过 ,就得回溯修订 ,看看是数学用错了 ,还是模式看错了 ,还是基本假设不合理。从这个角度来说 ,数学建模是过程、方法和意识 ,而非具体的学科分支。
数学建模在当今社会的重要作用无须多言 ,文明的飞速进步产生了大量的问题 ,这些问题大多需要 多、快、好、省的解决办法 小到垃圾桶的摆放大到航天飞机的设计 ,都离不开数学建模。由于社会的普遍需求已经产生 ,所以按照历史发展规律 ,数学建模的教育理应受到重视和发展。在中国 ,大学数学建模教育已经全面开花 ,但是中学数学建模教育还在初步探索阶段。
从2014年年末开始我在高中各个年级尝试过一些不同的数学建模教育教学方式 ,从大的类别来看 ,无非是两种 ：学以致用 和用以致学 。我们对 学以致用 强调得很多 ,因为历史上我国数学的发展基本上就是拿数学作为工具来做实效性强的事情。用以致学 提得少,它强调的是通过 用的尝试来了解知识的建立过程 ,从而 学到知识的来龙去脉 只有体会到一项理论在用的时候怎么用好怎么用不好 ,才能真正体会为什么这个理论会被这样建立。我们的数学课喜欢布置很多的练习题 ,其实这本身并没有坏处 ,但是如果仅限于做练习 ,这里面只有对 学以致用 的训练 ;当我们追问学生 通过练习来思考一下为什么采用这个算法 ?为什么这个公式这样建立比较好用 ?才会有 用以致学 的效果。
面向建模的数学
学以致用 和用以致学 不可分割 ,学了东西当然是要拿来用 ,但是用得好不好 ,顺不顺手 ,是否还能够有所改进 ,则要看 用以致学 是否扎实。最近有个理念十分时髦 ,叫 PBL 即项目式学习 ,或问题式学习 ,其实就是想把 学以致用 和用以致学 结合起来 ,边用边学,不仅学到 是什么 怎样用 ,还要学到 为什么不是别的 能不能换一种用法 。
本书起名 面向建模的数学 ,意味着本书并非只是本 数学建模教材 ,更是一本 数学教材 ,只不过讲数学时采用数学建模的观点 ,以问题的解决作为线索。这样的设计就是为了能将 用以致学 和学以致用 结合起来。
具体来说 ,本书各讲的行文结构大致如下。
首先 ,基于学科内外的自然需求提出一个问题。
其次 ,寻找解决这个问题的办法 ,在解决的过程中构建相应的数学理论和方法。这中间故意安插了一些 弯路 ,就是为了展现 为什么这样构建而非那样构建 。
再次 ,基于构建出的理论和方法 ,解决进一步的问题。这中间必然会遇到现有方法的局限性 ,基于对现有局限性的突破 ,来寻求理论和方法的精进。
最后 ,在思考习题中设置基础和进阶问题 进阶问题为标 *的题目 ,标**的题目难度更大 ,以帮助读者加深对已有材料的理解 ,并尝试推广范围。
为了更好地与读者对话 ,本书在每讲的正文中安插了较多的图示 ,也在容易混淆、忽视或关键的步骤处设置了思考点。
本书既适合作为数学建模课程教材 ,也适合学生自学 ,还可以用作教师培训教材。
如果是学生读者 ,在使用本书前最好已经具备这样一些准备知识 ：集合与简易逻辑、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、数列、平面向量。这大约是现行高一年级所学的课内知识。如果是教师读者 ,在使用本书时最好辅以参考文献与推荐读物 见附录 ,这些材料可以看作对本书内容的延展和补充。
本书的另一个特点在于容纳了关于机器学习基础方法 K-Means聚类方法、支持向量机、神经网络 的数学基础材料 ,从中可以体会两件事 ：首先 ,人工智能需要以数学作为基础 ,神经网络其实就是帮助最小二乘法寻找适当的拟合函数型 ,也和微分方程密切相关 ;其次 ,智能的来源在于几何 ,正所谓 启智维新出几何 。
本书在审校和出版过程中得到了很多人的帮助 ,其中包括首都师范大学的王尚志老师、内蒙古工业大学的崔继峰老师以及澳门培正中学的何威威老师。尤其要感谢我的爱人张玲。在本书成书期间 ,除了写作的事情 ,还有包括教学任务在内的大量公务需要处理 ,时间和精力两方面的压力往往压得人喘不过气 ,如果没有我的同事兼爱人张玲的支持、督促和鼓励,本书不可能顺利完成。经由这件事情 ,我也深刻地体会到 ：唯有爱 ,才是数学乃至一切科学最终的归宿。
在本书中 ,我尝试建立数学和真实世界之间的桥梁 ,希望书中的素材可以越来越多地被用在数学日常教学中。由于编著者水平有限 ,书中的疏漏与不足在所难免 ,请读者朋友不吝指教。
朱浩楠 2019年10月23日于北京
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