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| 編輯推薦： |
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本书没有将离散数学内容按照模块分割进行编写，突出知识的内在联系，循序渐进，相互依存。系统介绍了命题逻辑、谓词逻辑、集合与关系、函数、图论基础、特殊图、代数系统基础、几个典型的代数系统中的有关概念、定理及其证明方法。既强化基本概念的描述，又阐述了离散数学的证明方法及各部分知识的应用实例，展示了离散数学在计算机科学与技术及相关领域的应用。
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| 內容簡介： |
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本书没有将离散数学内容按照模块分割进行编写，突出知识的内在联系，循序渐进，相互依存。系统介绍了命题逻辑、谓词逻辑、集合与关系、函数、图论基础、特殊图、代数系统基础、几个典型的代数系统中的有关概念、定理及其证明方法。既强化基本概念的描述，又阐述了离散数学的证明方法及各部分知识的应用实例，展示了离散数学在计算机科学与技术及相关领域的应用。
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| 關於作者： |
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吴明芬教授，1964.7，研究方向是粗糙集理论、模糊系统、智能信息处理，大数据分析与挖掘，独撰或第一发表论文30多篇、软件著作权11项、申请发明专利5项、专著一部、教材三部。
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| 目錄：
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第1章 集合基础 1
1.1 集合与子集 1
1.1.1 集合的概念及表示 1
1.1.2 集合与元素的关系 3
1.1.3 集合与集合的关系 4
1.1.4 几个特殊的集合 4
1.2 集合的运算 6
1.2.1 集合的基本运算和性质 6
1.2.2 序偶与笛卡儿积 8
1.3 有限集合与计数问题 11
1.3.1 加法原理与乘法原理 11
1.3.2 容斥原理 12
1.3.3 鸽笼原理 14
1.3.4 排列和组合计数 16
习题 1 20
第2章 命题逻辑 23
2.1 命题及联结词 24
2.1.1 命题 24
2.1.2 命题联结词 25
2.2 命题公式、解释及分类 28
2.2.1 命题公式 29
2.2.2 命题公式的解释与真值表 30
2.2.3 命题公式的分类 31
2.2.4 命题公式的基本等价关系 33
2.3 联结词的完备性 37
2.3.1 联结词的枚举 37
2.3.2 联结词的完备性 38
2.4 命题公式的范式 39
2.4.1 析取范式和合取范式 40
2.4.2 主析取范式和主合取范式 41
2.5 命题逻辑推理理论 45
2.5.1 永真蕴含关系与判定 45
2.5.2 基本永真蕴含关系 46
2.5.3 命题公式推理系统 46
2.5.4 判断有效结论的策略 49
2.6 命题逻辑的应用 51
习题2 55
第3章 谓词逻辑 58
3.1 谓词逻辑的基本概念 58
3.1.1 个体词与谓词 59
3.1.2 量词 60
3.1.3 谓词的语言翻译 63
3.2 谓词公式与解释 64
3.2.1 谓词公式的概念 64
3.2.2 自由变元和约束变元 66
3.2.3 谓词公式的解释 67
3.2.4 谓词公式的分类 69
3.2.5 谓词公式的等价关系 70
3.3 谓词公式的范式 72
3.3.1 谓词公式的前束范式 73
3.3.2 Skolem标准型 74
3.4 谓词逻辑推理理论 74
3.4.1 谓词公式的蕴含关系 75
3.4.2 谓词公式推理系统 76
3.4.3 谓词逻辑推理的基本方法 77
3.5 谓词逻辑的应用 80
习题3 83
第4章 关系 86
4.1 关系及其表示 86
4.1.1 关系的定义 86
4.1.2 关系的表示 88
4.1.3 几种特殊的关系 90
4.2 关系的运算 91
4.2.1 关系的集合运算 91
4.2.2 关系的复合运算 92
4.2.3 幂关系和逆关系 95
4.3 关系的性质及其判定 100
4.3.1 关系的性质 100
4.3.2 关系性质的判定 102
4.4 关系的闭包运算 104
4.5 等价关系与相容关系 107
4.5.1 集合的划分和覆盖 108
4.5.2 等价关系与等价类 109
4.5.3 相容关系 112
4.6 偏序关系 114
4.6.1 偏序关系的概念 114
4.6.2 偏序关系的哈斯图 114
4.6.3 偏序集的特殊元素 116
4.6.4 两种特殊的偏序集 118
4.7 集合和关系的应用 118
4.7.1 关系在关系数据库中的应用 118
4.7.2 等价关系的应用 120
4.7.3 同余关系和偏序关系的应用 122
4.7.4 得分评判问题 123
习题4 126
第5章 函数 129
5.1 函数的概念 129
5.2 函数的基本类型 134
5.3 函数基本运算 136
5.3.1 函数的复合运算 136
5.3.2 函数的逆运算 138
5.4 置换函数 141
5.5 无限集合和基数 142
5.5.1 无限集合 143
5.5.2 集合的基数 144
5.5.3 可数集与不可数集 145
5.6 函数的应用 148
5.6.1 一些有趣的双射函数 148
5.6.2 哈希函数 150
习题5 155
第6章 图的基本理论 158
6.1 图的概念及其表示 158
6.1.1 图的概念 158
6.1.2 图的分类与握手定理 159
6.1.3 一些特殊的简单图 162
6.1.4 图的矩阵表示 163
6.1.5 子图和补图 165
6.1.6 图的同构 166
6.2 通路、回路与连通性 168
6.2.1 通路与回路的概念 168
6.2.2 无向图的连通性 169
6.2.3 有向图的连通性 170
6.2.4 通路与连通性的计算 172
6.3 图模型和通路的应用 175
6.3.1 图模型 175
6.3.2 通路的应用 176
6.3.3 几个算法 177
习题6 180
第7章 特殊图 184
7.1 无向树和根树 184
7.1.1 无向树及其性质 184
7.1.2 生成树 186
7.1.3 最小生成树 188
7.1.4 根树的基本概念 190
7.1.5 最优树 191
7.1.6 根树的遍历 192
7.2 欧拉图 193
7.3 哈密顿图 196
7.4 二部图 199
7.4.1 二部图定义及其判定定理 199
7.4.2 二部图的匹配 200
7.5 平面图 201
7.5.1 平面图的基本概念 202
7.5.2 欧拉公式 203
7.5.3 平面图的对偶图 205
7.6 特殊图的应用 206
7.6.1 根树的应用 206
7.6.2 欧拉图的应用 209
7.6.3 哈密顿图的应用 211
7.6.4 二部图的应用 213
习题7 214
第8章 代数系统基础 221
8.1 代数运算 222
8.1.1 什么是运算 222
8.1.2 代数运算的定义及表示 222
8.2 代数系统与子代数 225
8.2.1 代数系统 225
8.2.2 子代数系统 226
8.3 代数系统的运算性质和特殊元 227
8.3.1 二元运算律 227
8.3.2 代数系统中的特殊元 230
8.4 代数系统的同态与同构 234
8.4.1 同态与同构的概念 235
8.4.2 同态与同构的性质 236
8.5 常用的代数系统分类 239
习题8 240
第9章 几个典型的代数系统 244
9.1 半群的概念与性质 244
9.1.1 半群和含幺半群 244
9.1.2 元素的方幂与循环半群 246
9.2 群的概念及性质 248
9.2.1 群的定义及性质 249
9.2.2 子群及群同态 253
9.2.3 循环群和置换群 256
9.2.4 陪集与拉格朗日定理 258
9.3 环与域 262
9.3.1 环与域的定义 262
9.3.2 环与域的性质 264
9.3.3 子环及环同态 265
9.4 格与布尔代数 267
9.4.1 偏序格和代数格 267
9.4.2 格的基本性质 270
9.4.3 几种特殊格 273
9.4.4 布尔代数 276
9.4.5 布尔表达式 278
9.5 代数系统的应用 280
9.5.1 有限自动机 280
9.5.2 纠错码 284
9.5.3 全加器的电路设计 292
9.5.4 计数问题中的应用 295
习题9 299
参考文献 304
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| 內容試閱：
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离散数学一直被IEEE & ACM认定为计算机专业核心课程, 也是我国计算机科学与技术专业的核心基础课程。本教材以教育部高等学校计算机类专业教学指导委员会最新编制的《高等学校计算机科学与技术专业规范》和《高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案》为指导，对教学内容进行定位和设计，并针对应用型本科院校和工程类本科院校计算机科学与技术及相关专业的本科生进行选材，结合计算机科学和现代数学发展的新成果，以及编写组多年离散数学课程教学及精品课程建设的经验，吸取教学团队及师生们对该课程的建议编写而成。
离散数学的研究对象是各种离散量的结构及其性质和相互间的关系，并且一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。离散数学包含的主要内容有集合论、数理逻辑、图论、代数系统，并且其内容一直随着计算机科学与技术的发展在不断扩充和完善。作为计算机相关专业的核心课程，它为后续的数据结构、操作系统、数据库技术、编译理论、算法分析、可计算性与计算复杂性理论、机器定理证明、逻辑程序、计算机网络、容错诊断、人工智能等专业课程提供必要的数学基础。
五邑大学计算机科学与技术、软件工程、网络工程、信息安全、通信工程（计算机通信网络）、数学与应用数学、信息与计算科学、大数据科学与技术八个专业的培养计划中都将离散数学设置为核心基础课程，但学时不断调整或压缩，从最初的72学时，到64学时或48学时。本书在借鉴各种离散数学教材的基础上，结合作者多年的教学实践，没有将离散数学内容按照模块分割，而是突出知识的内在联系，循序渐进。内容以工科学生易懂及够用为原则，由浅入深，逻辑严谨，结构清晰。既强化基本概念的描述，又重视阐述证明方法及各部分知识在计算机科学与技术相关领域的应用实例。本书共分9章，依次为集合基础、命题逻辑、谓词逻辑、关系、函数、图论基础、特殊图、代数系统基础、几个典型的代数系统。各章之间的逻辑和内在联系体现如下图：
本书清晰地介绍了离散数学中的概念，并向读者展示其相关性和实用性。主要特点是：
（1）本书将最基本、最重要的内容选入，并努力做到简明扼要、深入浅出，既保持各章体系的独立性，又展现出它们的密切联系。如集合部分增加了多重集合及计数内容，为所有章节的基础；关系和函数部分应用了数理逻辑的内容等。
（2）通过大量的实例从不同的角度对一些抽象的概念进行诠释，使其易于被学生接受和理解。将同类且对比鲜明的概念或结论集中阐述，并通过典型的实例进行对比说明，使学生深刻理解它们的区别与联系。
（3）每章内容的最后一节介绍离散数学相关理论在日常生活、计算机科学及信息科学中的一些典型应用，以增加知识的趣味性，激发学生学习的积极性。
本书在内容的组织上，精心安排各部分内容的先后顺序，使结构更合理、内容更充实、语言更通俗易懂。注重展现离散数学在计算机科学及信息科学中的应用，以增强学生使用离散数学知识分析问题和解决问题的能力。通过学习离散数学课程，学生在获得离散问题建模、离散数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，还可以培养和提高抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，为今后处理离散信息以及用计算机处理大量的日常事务和科研项目、从事计算机科学和应用打下坚实基础。
本书的框架结构、样式及符号由吴明芬老师统一设计，李继容老师撰写第1章、第4章和第5章，邢润丹老师撰写第2章和第3章，朱铁丹老师撰写第6章和第7章，吴明芬老师撰写第8章、第9章，第1章、第6章和第7章的习题由奚悦老师完成，编写组老师之间相互补充修正，最后由吴明芬老师对全书进行了统稿，对每章内容及应用进行补充、修正及完善，确保全书内容、前后逻辑、符号等正确和一致。研究生杨光、刘超和高连飞帮助处理书稿的排版、图片处理、部分习题答案及录入，数理逻辑部分借鉴了张先勇老师以前撰写的内容，在此深表谢意。
我们在编写本书的过程中参阅了许多国内外离散数学教材及专著，在此对这些著作的作者表示感谢。在本书的编写过程中，得到了清华大学出版社领导和编辑的大力支持，在此表示深深的谢意。
由于我们的水平和经验有限，书中不妥之处在所难免，恳请读者批评指正。
编 者
2020年10月于五邑大学
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