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| 內容簡介： |
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混沌系统及相关的控制问题是非线性系统控制领域的一个研究热点。《混沌系统的控制问题研究及其应用》主要介绍了混沌系统镇定、同步、反同步、同时同步和反同步、投影同步、跟踪等问题的**进展。特别地，对于混沌系统反同步、同时同步和反同步、投影同步问题，《混沌系统的控制问题研究及其应用》不仅给出了它们存在的充要条件，而且给出了相应的求解算法。
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| 目錄：
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目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 混沌系统的概念 1
1.2 混沌系统的控制问题 4
1.2.1 控制问题分类 4
1.2.2 混沌系统几类同步问题的存在性 5
参考文献 6
第2章 混沌系统控制问题的实现 8
2.1 线性反馈方法 8
2.1.1 理论方法 8
2.1.2 数值例子及仿真 8
2.2 动态增益反馈控制方法 10
2.2.1 理论方法 10
2.2.2 数值例子及仿真 11
2.3 类线性反馈方法 13
2.3.1 理论方法 13
2.3.2 数值例子及仿真 13
2.4 基于三角结构系统的镇定方法 15
2.4.1 理论方法 15
2.4.2 数值例子及仿真 16
参考文献 17
第3章 混沌系统的镇定 19
3.1 引言 19
3.2 混沌系统的镇定问题 20
3.2.1 标称混沌系统的镇定 20
3.2.2 含有模型不确定性和外部扰动的混沌系统的镇定问题 21
3.2.3 数值例子及仿真 22
3.3 复混沌系统的镇定问题 29
3.3.1 理论结果 30
3.3.2 数值例子及仿真 33
参考文献 36
第4章 混沌系统的同步 38
4.1 引言 38
4.2 混沌系统同步问题 38
4.2.1 预备知识 38
4.2.2 理论结果 39
4.2.3 数值例子及仿真 40
参考文献 57
第5章 混沌系统的反同步 59
5.1 引言 59
5.2 混沌系统反同步问题 61
5.2.1 预备知识 61
5.2.2 理论结果 62
5.2.3 数值例子及仿真 70
参考文献 90
第6章 混沌系统的同时同步和反同步 93
6.1 引言 93
6.2 混沌系统的同时同步和反同步问题 94
6.2.1 预备知识 94
6.2.2 问题的描述 95
6.2.3 理论结果 95
6.2.4 同时同步和反同步问题的实现 99
6.2.5 数值例子及仿真 100
参考文献 115
第7章 混沌系统的投影同步 118
7.1 引言 118
7.2 混沌系统的投影同步问题 120
7.2.1 预备知识 120
7.2.2 问题的描述 121
7.2.3 理论结果 121
7.2.4 数值例子及仿真 125
参考文献 141
第8章 混沌系统的跟踪问题 143
8.1 引言 143
8.2 问题描述 143
8.2.1 参考模型 144
8.2.2 控制器设计 145
8.2.3 数值例子和数值仿真 146
参考文献 153
彩图免费在线读第1章 绪论
1.1 混沌系统的概念
非线性科学是当今非常活跃的学科之一，非线性现象在很多领域得到越来越多的关注。在众多的非线性现象中，混沌运动显得尤为突出。混沌运动是一种高级的复杂运动形式，它*重要的特点是对初值的高度敏感性，即初值的微小差别会导致系统状态的巨大差异。混沌运动受到确定性规律的制约，它既不同于布朗运动的随机涨落，也不同于有规律的定规线运动。混沌是耗散和非线性相互作用的结果，由于耗散的作用，混沌系统在整体上和大范围内表现为稳定和相体积的收缩，而非线性作用的结果使轨道局部不稳定，这种不稳定又使轨道局部分离，整体稳定和局部的不稳定形成了混沌的奇异行为，表现出复杂的运动形态，混沌运动具有无穷层次的自相似结构。1963年，Lorenz提出了描述热对流不稳定性的模型，其是一个由完全确定的三阶非线性常微分方程描述的耗散系统，但在一定参数范围内出现了非周期的混沌解，参数的微小变化将引起解的巨大变化。这就是方程对初值敏感的表现，即所谓的“蝴蝶效应”。那是*早被发现的混沌系统。混沌的定义*早是由Yorke和李天岩在1975年提出的，他们在《周期三意味混沌》中首先提出现代科学意义上混沌的数学定义。但是Li-Yorke定义的缺陷在于定义中集合的勒贝格测度有可能为零，即混沌是不可观测的，而人们感兴趣的则是可观测的情形。从那时开始，各种混沌定义开始出现，目前比较著名的是Li-York意义下的混沌、Devaney意义下的混沌和Smale马蹄意义下的混沌。之后，混沌科学进入了蓬勃发展时期。混沌现象及其研究的发展，使本来完全不同性质的系统如大气、心脏跳动、生态演化、流星起源等能用相同的数学工具、物理语言找出其混沌运动的共同特征和规律，发现了通向混沌的几种共同道路。
研究表明，混沌现象是由非线性系统产生的。由非线性所引起的两个变量间依从关系的多值性是导致分岔、跳跃、突变等非线性现象的原因。几乎所有的经典力学系统都显示有混沌运动，规则运动相对地只在局部范围和较短时间内存在。表征混沌中无序现象的两个基本特点是：不可预言性和对于初始值的**敏感依赖性。一般地，如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以称这个真实物理系统是混沌的。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化的动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确定。而一些动力系统中，两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致性，恰如从长序列中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。目前，常用的典型混沌系统有Lorenz系统、Rossler系统、Chua电路、Duffing振子、Logistic系统、Henon映射等，陈关荣在研究混沌反控制的过程中发现了一个新的吸引子，该系统与Lorenz系统和Rossler系统均不拓扑等价，被称为Chen系统，这是又一个典型的混沌系统。吕金虎等提出了另一个混沌系统，即被称Lü系统。后来，Chen系统、Lü系统和一类统一混沌系统被称为Lorenz系统簇。
所谓混沌，就是某些具有确定性的非线性系统，在一定参数范围内能给出非周期的、表面看来很混沌的输出，即来源于确定的体系的无规则运动，混沌现象揭示了在确定性和随机性之间存在着由此及彼的桥梁，这在科学观念上存在着深远的意义[1-5]。混沌理论改变了经典物理学的世界观。经典力学假设牛顿力学是决定性的、可测量和可预测的。物理学的两次重大变革—相对论和量子力学，相对论消除了**空间与时间的幻象，即牛顿式的幻象，量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦。混沌表明决定性规律所产生的一条混沌轨道是如此的复杂，如掷骰子那样随机，不可能长期预测。这从根本上粉碎了拉普拉斯Laplace关于决定论的完全可预测性。混沌理论帮助我们打破固有思维，再次深刻认识世界上一切矛盾体之间既对立又统一的辩证关系。混沌理论对牛顿力学的致命打击是从研究非线性力学中得到的。它使人们认识到牛顿力学既是确定论的又是随机论的。另外，由耗散结构理论提出的内部时间概念，由分形理论得到混沌吸引子的空间分数维数概念，又将引起对牛顿力学的时空观的新认识。它将指导我们在自然科学领域和社会科学领域进行更深入的研究。同时我们也应主动将混沌理论与自身专业领域结合起来，以期有新的发现和突破。
虽然目前混沌实际上还没有统一的定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解，但是在以下几方面是类似的。
1伪随机性：体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称为内随机性。例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，控制参数、初始值都是确定的，而系统在混沌区的行为仍表现为随机性。这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用。体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在。
2初值的极其敏感性：系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的，时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性。这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性。
3分数维数性：混沌具有分数维数性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分数维数来描述。例如，Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的Lorenz模型的分维数是2.06。体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构。
4普适性：当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义。其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
5标度律：混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域。只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，就可以从中发现小尺寸混沌的有序运动，所以具有标度律性质。例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性。
经过近几十年的发展，尤其是*近十几年的迅猛发展，目前混沌控制及其应用研究已获得重大的突破性进展，人们已经逐渐改变了对混沌运动的不稳定性、不可控性及不可靠性的偏见，开始逐步认识到混沌的重要作用，并开始利用混沌和应用混沌。所有这些都是一个良好的开端，对这些问题的研究，不仅具有重大的理论价值，而且具有重要的实际应用价值。混沌理论在自然科学和社会科学中都有着广泛的应用，其具体的潜在应用可概括如下。
1优化：利用混沌运动的随机性、遍历性和规律性寻找**点，可用于系统辨识、**参数设计等方面。
2神经网络：将混沌与神经网络相融合，使神经网络由*初的混沌状态逐渐退化到一般的神经网络，利用中间过程混沌状态的动力学特性使神经网络逃离局部极小点，从而保证全局**，可用于联想记忆、机器人的路径规划等。
3图像数据压缩：把复杂的图像数据用一组能产生混沌吸引子的简单动力学方程代替，这样只需记忆存储这一组动力学方程组的参数，其数据量比原始图像数据大大减少，从而实现了图像数据压缩。
4高速检索：利用混沌的遍历性可以进行检索，即在改变初值的同时，将要检索的数据和刚进入混沌状态的值相比较，检索出接近于待检索数据的状态。这种方法比随机检索或遗传算法具有更高的检索速度。
5非线性时间序列的预测：任何一个时间序列都可以看成一个由非线性机制确定的输入输出系统，如果不规则的运动现象是一种混沌现象，则通过利用混沌现象的非线性技术就能高精度地进行短期预测。
6模式识别：利用混沌轨迹对初始条件的敏感性，有可能使系统识别出只有微小区别的不同模式。
7经济混沌的定性预测和经济系统的定量预测：运用混沌理论研究包括财政、金融在内的经济和管理问题，特别是有关证券市场股价指数、汇率变化问题。
8故障诊断：根据由时间序列再构成的吸引子的集合特征和采样时间序列数据相比较，可以进行故障诊断[6-12]。
1.2 混沌系统的控制问题
1.2.1 控制问题分类
自在1990年混沌控制的OGY方法提出以来，Ditto等利用OGY方法首次在磁弹体上实现了对不动点的稳定控制，此后，混沌控制的研究从理论和应用两方面得到迅速发展。混沌控制的研究可以分成两大方面，一方面，基于OGY方法的成功应用，人们对该方法进行了大量的研究和应用，试图对其进行改进，或者通过对其深入的分析，得到某些参数之间的解析方程。另一方面，由于非混沌系统尤其是线性系统的控制已经形成了许多成熟的方法，这些方法正好可以解决OGY方法所固有的不足，从自适应控制、模糊控制到神经网络技术的应用，人们提出了许多用传统控制思想对混沌进行控制的方法，有些取得了很好的控制效果。从控制原理来看，混沌控制方法大体可分为反馈控制和无反馈控制两大类。反馈控制法包括OGY法及各种改进法、偶然正比反馈技术、连续变量反馈法、正比变量脉冲反馈法、线性反馈法、非线性反馈法等。无反馈控制法包括自适应控制法、参数周期扰动法、周期激励法、传输迁移法、神经网络法、外部噪声法、混沌信号同步法、相位调节法、人工智能法等[6-12]。
1.2.2 混沌系统几类同步问题的存在性
本章将对混沌系统的几类同步问题进行研究，下面先介绍一些预备知识。
考虑如下的混沌系统
1-1
其中，x∈Rn是系统的状态变量，是连续的向量函数。
将系统1-1设置为主系统，从而相应的受控从系统为
1-2
其中，y∈Rn是状态变量，B∈Rn×r，u∈Rr是待设计的控制器。
令e=y-αx，则误差系统可以表示为
1-3
其中，e∈Rn是系统的状态变量，B、u见式1-2，α为
下面给出系统1-1和系统1-2的几种类型同步定义[13-17]。
定义1.1 考虑误差系统1-3：
如果对于所有α=In都成立，也就是αi=1，i∈Λ，那么就称主系统1-1和从系统1-2实现了同步。
如果对于所有α=-In都成立，也就是αi≡-1，i∈Λ，那么就称主系统1-1和从系统1-2实现了反同步。
如果对于一些，而其余的，且成立，那么就称主系统1-1和从系统1-2实现了同步与反同步共同存在。即主系统1-1的一些变量xi与从系统1-2相应的变量yi，i∈Λ实现了同步，同时主系统1-1其他的变量xj与从系统1-2相应的变量yj，j∈Λ，i≠j实现了反同步。
要设计一个物理上可实现的控制器，那么e=0应该是如下未受控误差系统的平衡点
1-4
因此
fαx-αfx≡01-5
即
fαx≡αfx1-6
据此，得出以下结论。
推论1.1考虑主混沌系统1-1：α=In一定是方程1-6的解，因此，对于两个相同的混沌系统，其完全同步一定存在。
因此，在研究两个相同混沌系统的完全同步问题时不会验证完全同步问题是否存在。
推论1.2考虑主混沌系统1-1：α=-In是方程1-6的解f-x=-fx。
因此，在研究两个相同混沌系统的反同步问题时需要验证条件f-x=-fx是否满足。如果不满足，可验证主混沌系统1-1的部分子系统是否满足上述性质，即是否存在部分反同步的问题。
根据文献[17]中的结果，得到以下结论。
推论1.3考虑主混沌系统1-1，如果一些αi=1，其他的，是方程1-6的解，那么主混沌系统
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